對一道高考壓軸題的深度探究

湖南省長沙市明德中學 (郵編：410009)

近日筆者在上一堂高三習題課時，講到一道2016年高考浙江卷的壓軸題，不料一波三折，“被迫”與學生一道對該題進行了深度探究.

圖1

1 試題再現

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a、k表示)；

(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

筆者按照上述標準答案的解法講解了該題，指出關鍵是求出a2的取值范圍，并著重點評了“正難則反”的思維，本以為這樣就可以完美收官了，但學生們普遍表現出一種欲言又止，心有不甘的表情，一方面對“正難則反”的方法嘖嘖稱嘆，一方面對自己從正面解題的方法也覺得不無道理，一時間大家各抒己見，爭論不休.

2 華山論劍

圖2

該生是憑借幾何直觀構造圖形，但立刻遭到其他同學反駁.

生2：我認為在圓A變大時雖然點B不再是公共點，但可能在兩側產生新的公共點，所以這個橢圓并不滿足與圓至多3個公共點的要求.

師：生2的懷疑確實不無道理，畢竟感性認識不具備理性的說服力，可否從理性的角度來解析呢？

圖3

很明顯此刻同學們的興趣和疑惑更大了，一方面聯立方程利用數形結合解題是大家常用的方法，另一方面兩種結果竟然恰好相反，大家都把目光投向了教師，看來不搞個水落石出決不罷休了，于是筆者和同學們共同展開了對本題的深度探究.

3 深度探究

師：同學們專注于計算恰好3個公共點的情況，然而本題是要尋找這樣一類橢圓，即無論圓A大小怎樣變化，都至多3個公共點，因此不應局限在恰好3個公共點而止步不前，還要看在變化過程中是否出現4個公共點.

(1)當r2>f(-1)=4，即r>|AB|時，方程f(y)=r2無解，此時0個公共點；

(2)當r2=f(-1)=4，即r=|AB|時，方程f(y)=r2有唯一解y1=-1，此時對應1個

公共點(如圖4、5) .

圖4

(3)當0=f(1)

圖6

圖8

此時對應有4個公共點(如圖10、11)；

圖10

(4)當r2=f(-1)=4，即r=|AB|時，方程f(y)=r2有兩個不同的解y1=-1，y2∈(-1,1)，此時對應有3個公共點(如圖12、13)；

圖12

(5)當0

圖14

綜上所述，當12時，圓與橢圓至多會有4個公共點.

4 塵埃落定

揭開廬山真面目，學生的滿腹疑惑終于煙消云散，通過深度探究，訓練了對函數的綜合運用能力，強化了數形結合的思維，相信對提升學生包括邏輯推理等在內的核心素養大有裨益.