“任意”還是“存在”

安徽省潁上第一中學 (郵編：236200)

1 緣起

筆者所在學校最近進行了一次五校聯考，理科第20題與文科第21題為同一題，其中第二問的參考答案引起了部分老師的質疑，并且在教研會上進行了激烈的探討.試題及參考答案如下：

2 教研質疑與困惑

圖1

此時問題似乎聚焦到對區間[a,b]的理解上去了，那么問題1中的區間[a,b]前面被省略的量詞到底是理解為“任意”還是“存在”呢？如果在問題1中重新還原被省略的量詞，又該如何還原呢？大家在嘗試給區間[a,b]添加量詞的過程中發現，無論是添加量詞“任意”還是“存在”，閱讀起來都會非常拗口，而且也使得問題更加難以理解，教研一度陷入困境！

3 回歸集合，再度質疑

事實上，求含參數問題的最值或取值范圍時，通常不對參數附加量詞，而是先將其固定為“常數”，再求它們的取值范圍.筆者認為量詞的添加困難主要來源于問題1中的“關系式”是從關系式所確定的“集合”中分離出來的[1]，所以應該回歸到集合關系.由此在教研會上提出將問題1等價轉化為

一石激起千層浪，筆者的提議很快遭到了其他老師的質疑，質疑的內容主要為兩點：一是根據問題4，可以得出b-a的取值范圍為(0，10π)，這樣就說明問題1與問題2并不是對立問題，與我們的認知相沖突；二是問題3與問題4都回避了對區間[a,b]添加量詞的做法，雖然一般不對參數附加量詞，但是并不代表不能附加量詞.

4 深度教研，答疑解惑

為了探究問題的“真相”，筆者嘗試用以下例題來加以說明.

例1設集合A={0}，若(a,b)中含有A中的元素，求b-a的取值范圍.

例2設集合A={0}，若(a,b)中不含有A中的元素，求b-a的取值范圍.

顯然例1與例2中b-a的取值范圍都是(0,+∞).從而寫出以下兩個真命題，即

命題1設a0，則b-a的取值范圍是(0,+∞).

命題2設a

由于“取值范圍”具有充要性，因此命題1與命題2的否命題應該也是真命題.但是在不附加量詞的情況下，容易對命題1與命題2的否命題產生誤解，所以參考文獻1的做法，可以分別改寫成

命題3設a0，使得y=b-a，則y∈(0,+∞)[2].

命題4設a

顯然，命題3的否命題是

命題5設a0，都有y≠b-a，則y?(0,+∞)[3].

而命題4與命題5并不是等價命題，所以例1與例2也就不是對立問題了.由此筆者對同仁們的質疑作出回應：首先問題1與問題2，即問題3與問題4并不是對立問題；其次問題3與問題4都可以對區間[a,b]添加量詞“存在”，從而改寫成

問題5與問題6表明問題1與問題2中的“至少存在”和“至多存在”是針對集合A而言的，而區間[a,b]都可以附加量詞“存在”.

5 結束語

為什么很多教師，甚至資深老教師都會被問題1與問題2所困惑呢？筆者認為這是對區間[a,b]和數值b-a進行不等價轉化而造成的，前者是集合，后者是該集合的測度，兩者不可混為一談.若設集合I={M|M?R}，問題1中區間[a,b]∈D1，問題2中的區間[a,b]∈D2，那么D2是D1在I中的補集.但是所求問題是“b-a的取值范圍”，即D1與D2中元素的測度的取值范圍F1與F2，如果想當然地認為F2是F1在R中的補集，就會錯誤地認為問題1與問題2是對立問題.同樣地，問題1可以簡略地表述為：“若[a,b]∈D1，則b-a的取值范圍是F1.”其中[a,b]∈D1是問題1中的條件，而不是所求問題的結論，否則就會造成理解上的困惑.所以筆者建議該類問題都應該回歸到“集合”的角度去分析，這樣可以有效消除問題中量詞被省略后帶來的理解誤區.