是超“綱”？學得差？還是其他？

安徽省肥西縣梁崗學校 (郵編：231201)

1 考題再現

2 試題背景

這是肥西縣七年級2018-2019學年度第一學期期末教學質量數學檢測試卷上的一道填空題，與去年同期七年級數學期末試卷的一道填空題不謀而合，筆者同時參與了這兩次考試的紫蓬教研片(主要是城鄉結合部和鄉村學校)閱卷工作.

3 答題統計

3 錯因分析

3.1 是超“綱”？

為什么會出現如此低的準確率呢？一種觀點認為是此題超“綱”了.我們知道，義務教育數學教學是以《數學課程標準》(2011年版)(以下簡稱為《課標》)為綱，以配套教材為依據的.因此，如果教學時離開《課標》和教材的范圍和要求，就有超“綱”的嫌疑.難道我縣期末試卷上的這道填空題超“綱”了？筆者打開了《課標》，點擊“查找替換”按鈕，在查找內容對話框中輸入“二元一次方程”，點擊“突出顯示查找內容”，然后點擊“全部突出顯示”，在對話框中顯示“共有兩處”，一處是第二十八頁“掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組”；這不是對二元一次方程進行教學要求，另一處是第三十頁“體會一次函數與二元一次方程的關系”.這才是對二元一次方程的具體要求，至于二元一次方程的解(整數解)、等價變形，《課標》中沒有具體明確，好像這種觀點似有道理.但二元一次方程屬于方程內容，《課標》在第二十八頁規定了“能根據具體問題中的數量關系列出方程；經歷估計方程解的過程；掌握等式的基本性質”.在附錄1中指明了“經歷”、“掌握”的基本含義：經歷是指在特定的數學活動中，獲得一些感性認識；掌握是指在理解的基礎上，把對象應用于新的情境.對二元一次方程的解(整數解)的研究就是在經歷二元一次方程解的過程，二元一次方程的等價變形就是將等式性質應用于二元一次方程的情境中.另外，在實際教學中，我們知道，為研究二元一次方程組的需要，必須要研究二元一次方程的解、等價變形等內容，這是任何一個數學教師不可回避的問題.因此該填空題沒有超出《課標》.

那么該題有沒有超出“教材”范圍呢？下面筆者帶你翻閱一下部分版本義務教育數學教材.

蘇科版七年級數學教材第十章二元一次方程組中的第10.1節安排了專門的“二元一次方程”內容，第10.2節二元一次方程組，在第一節中先設置了兩個“籃球比賽”的問題，設了未知數后得出兩個方程：2x+y=20，2x+3y=35-10，然后提出問題：這兩個方程有哪些共同特點？接著教材給出二元一次方程及其解的定義，在習題中設置了二元一次方程的等價變形問題.

浙教版七年級數學教材第四章二元一次方程組第4.1節介紹了二元一次方程，第4.2節二元一次方程組，在第一節中，教材給出了“零錢兌換”“行程問題”等兩個問題，設了適當的未知數后得到方程：0.6x+0.8y=3.8，2a=3b+20，然后給出了二元一次方程的定義，并配有鞏固練習，接著給了二元一次方程解的定義、等價變形等問題.

滬科版七年級數學教材第三章一次方程與方程組，該章先介紹了一元一次方程、一元一次方程的應用，在第3.3節介紹二元一次方程組及其解法，第3.4節介紹二元一次方程組的應用.在第3.3節中的二元一次方程組及其解法中，教材先給出一個有關植樹的實際問題，在這個問題中有兩種樹的總棵樹為45，總費用60元，很容易得到兩個方程，x+y=45，2x+y=60，然后介紹了二元一次方程的定義，對于二元一次方程的等價變形則是在用代入法解二元一次方程組中介紹的，二元一次方程的整數解則是在第12.3節一次函數與二元一次方程中介紹的.

3.2 學得差？

另一種觀點認為是學生學得差？大多數錯解的學生問題發生在：

(1)沒抓住概念本質，混淆了二元一次方程與二元一次方程組的概念.數學概念是人們對數學事物本質的認識，是構建數學知識綜合體系最基本的單元，是理解和掌握數學的基礎.學生們對二元一次方程與二元一次方程組概念的掌握情況將直接影響著本題的答題效果.二元一次方程與二元一次方程組之間僅一字之差，二者大相徑庭.筆者所執教的滬科版(2012年版)教材，在3.3二元一次方程組及其解法一節中對二元一次方程和二元一次方程組作了如下定義：

其中每個方程都是含有兩個未知數的一次方程，像這樣的方程，叫做二元一次方程，聯立在一起的幾個方程稱為方程組，由兩個一次方程組成的含兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組.該版本教材在第3.1節一元一次方程及其解法一節中，對一元一次方程作了嚴格的定義.一元一次方程、二元一次方程都屬于一次方程，二元一次方程與二元一次方程組都含有文字“二元一次方程”，這是他們的相似之處，學生們會錯誤地認為未知數的次數是1的方程就是一次方程，也會誤認為二元一次方程組是由兩個二元一次方程組成的.因此概念的相似性是理解概念的絆腳石.

3.3 還是其他？

學生學得差似乎找出了問題的原因，我們不妨看看其他教研片學生的答題情況.筆者與教育局數學教研員張主任共同抽查了部分優質生源學校的學生答卷.通過抽查發現這些學生的基本功扎實，數學學習能力較高，對數學概念的領悟能力較強，但是他們中也有約16%同學錯誤地寫成了方程組.所以這里有沒有教師教學的問題？我們是否真正領會了這部分內容《課標》的要求？我們是否從數學上理解了這部分內容在課本方程中的地位和作用？我們是否深度掌握了學生在學習這個內容時的困難和障礙？我們是否真正把概念教學和發展學生的思維能力放在實處？我們是否只關注所謂的“主流”題，不知不覺地走在應試教育的路上？

4 幾點建議

4.1 系統教學，深化概念.

準確全面領會《課標》，讓教學不留缺憾.如果教師片面地認為《課標》中沒有這部分內容的要求，在教學中不加以重視，只是輕描淡寫地教學二元一次方程，而重點教學二元一次方程組及其解法.加上七年級學生處于少年時期，思維發展不太成熟，久而久之，學生腦海中就沒有了或模糊了二元一次方程的概念.《課標》在教學建議部分指出，在數學教學活動中，教師要創造性地使用教材，積極開發、利用教學資源.因此，在教學二元一次方程組之前，要對二元一次方程進行一些必不可少的知識教學.我們可以在教學二元一次方程內容時適當放慢節奏，讓學生慢慢來消化.如可以設置三個課時，第一課時教學二元一次方程的定義與二元一次方程的解，可以通過實際生活中的案例如零錢兌換問題等引入課題.第二課時教學二元一次方程的等價變形，這節課應該以訓練為主，讓學生經歷方程的等價變形過程，提高等式性質的應用能力.在八年級12.3一次函數與二元一次方程一節再用一節課專門研究二元一次方程的特殊解問題.這樣的教學符合七年級學生的心理特點和身心發展規律，深化對二元一次方程概念的理解.

4.2 對比教學，掌握本質.

理解數學是教好數學的前提.二元一次方程是方程中的一種重要類型，是建立了一元一次方程與二元一次方程組之間的紐帶.掌握二元一次方程的概念將影響著二元一次方程組的學習效果，對一元一次方程也起著很好的鞏固作用，同時為后續的更多方程知識學習提供了經驗.如果僅僅用一兩句話介紹二元一次方程的定義，學生不能深入理解，這樣的教學不但沒有遵循學生的認知規律，沒有引導學生參與概念的形成過程，也使學生失去一次深化方程知識學習的極好機會.如果在對二元一次方程組的學習中，先回憶先前比較系統的二元一次方程的概念和相關知識，讓學生主動地去比較二元一次方程與二元一次方程組的聯系與區別.掌握二元一次方程與二元一次方程組這些相似概念的辨別方法.學生不僅少犯和不犯上面的錯誤，而且也發展和完善了學生思維能力和思維品質.

4.3 助力幫扶，提高質量.

紫蓬教研片的學生答題準確率如此低的原因是不難理解的.雖然各級教育主管部門投入了大量的人力物力改善了城鄉教育的不均衡問題，農村中學的教學軟硬件設施與城里也不相上下，但依然改變不了鄉村教育的落后局面和家長們的擇校熱情.筆者認為當前在提高鄉村學校數學教育質量方面要真正落實：

加強教師隊伍建設，制定特殊政策吸引優秀的數學教師到鄉村學校工作，并讓他們在那里留得住，教得歡.

結對幫扶，比如讓更多的農村優秀數學教師加入縣市級數學名師工作室隊伍，讓他們有更多的參加教研的機會，提高教學、教研能力.

與名校結對，利用名校的教育資源，讓農村薄弱學校也享受名校的優質資源，降低家長們的追逐名校的熱潮，留住優質生源.

名師支教，讓一些有教學經驗的知名教師到薄弱學校支教，帶去有效的教學方法，引領鄉村學校教師教學能力的進步和學校教學質量的提高.