數學質疑式閱讀能力芻議

山東師范大學數學與統計學院 (郵編：250014)

山東省煙臺第二中學 權 奎 (郵編：264000)

1 數學質疑式閱讀能力的內涵

數學閱讀是數學學習的重要方式之一.社會的信息化發展使得人類的閱讀活動日趨復雜，閱讀內容的呈現方式多樣化.其中，數學相關材料的閱讀成為現代信息社會對人的信息素養的要求之一.

數學質疑式閱讀能力是在數學質疑式閱讀活動中需要培養的能力，是數學教師在引導學生進行自主課前預習、閱讀課本和數學探究活動中，由學生產生困惑或提出有價值的問題，通過師生互動交流合作、質疑提升，共同解決疑惑，最終使學生理解和體會數學內容和方法的本質，并能消化吸收加以應用的一種閱讀能力.

培養學生的質疑能力和創新精神是在數學學科中實施素質教育的重要內容之一.數學質疑式閱讀能力是學生的質疑能力和創新精神的重要體現，在數學教學過程中，只有熟練運用這種能力才能更好地進行數學質疑式閱讀活動，從而完成質疑式數學教學過程.

數學質疑式閱讀能力是在數學質疑式閱讀活動過程中培養發展起來的.對此，目前有不少研究.例如，李興貴[1]提出，數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，包括對語言符號(文字、數學符號、術語、公式、圖表等)的感知和認讀、新概念的同化或順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素.同樣地，數學質疑式閱讀首先與一般性的數學閱讀過程一樣，是一個需要不斷假設、想象、推理、驗證的積極能動的認知過程，同時也是對數學概念、定理、公式、法則等不斷激起學生認知內部的矛盾沖突，并通過師生間的質疑、釋疑、解疑等完整的心理活動過程.數學質疑式閱讀過程的認知對象是數學材料，包括各類概念、命題、例題、習題，和以數學語言為載體的數學系統知識的邏輯表述.傅海倫[2]提出，數學除了抽象性、嚴謹性和應用的廣泛性外，還有十分豐富的思維方法和簡約、通用的語言系統、符號體系，這些特點使得數學質疑式閱讀有與傳統閱讀不同的要求，體現在具體方面則是語言轉化方面、問題解決方面和信息獲取方面等方面的各種能力.

2 數學質疑式閱讀能力的分類

數學質疑式閱讀究竟應該包括哪些方面的能力？如何對數學質疑式閱讀能力進行分類？目前并沒有一致的說法，也沒有統一的分類標準.李興貴[3]將數學閱讀能力分為語言轉化能力、邏輯思維能力和元閱讀能力.也有研究者[4]將數學閱讀能力分為數學材料形式化能力、概括數學材料能力、聯想能力、辨別數學材料的能力、對所讀數學材料的應用能力等.筆者嘗試通過數學質疑式閱讀活動的語言轉化、問題解決和信息獲取這三個具體的方面，對數學質疑式閱讀能力進行分類研究.

2.1 語言轉化方面的數學質疑式閱讀能力

數學的簡約、通用的語言系統與文字語言相結合，方便傳達各種數學知識與數學信息，這就要求學習者在數學質疑式閱讀活動過程中有將各種文字語言、符號語言、圖形語言等進行相互轉化的能力.

(1)文字語言符號化能力

通過數學質疑式閱讀將文字語言進行符號化的能力，是語言轉化方面最基本的數學質疑式閱讀能力.在指導學生進行數學史和數學文化材料的閱讀中，尤其需要培養學生的這種能力.傅海倫[5]在對各類中國傳統數學思想方法進行分析時，特別強調中國古代的數學經典名著《九章算術》等就十分重視這種基本能力.古代數學內容以文字形式呈現，通過對文字語言進行符號轉化，只有具備了這種文字語言符號化能力才能為后人閱讀文獻、準確進行解讀與分析奠定必要的基礎.例如，《九章算術》勾股章一開始講了勾股定理及其變形，前三個題的“勾股術曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦.又股自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即勾.又勾自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即股”.

如果以a、b、c各表示直角三角形的勾、股、弦.則上述三句話可表示為

這種符號轉化，既可以方便理解與記憶，又可以更簡潔地交流和應用，這給我們現代人以重要啟示：文字語言的各種詞語界定了具體的運算，進行數學質疑式閱讀活動時必須具備文字語言符號化的能力，不能漏字和顛倒次序.

(2)符號語言文字化能力

數學常用符號進行記錄與分析，這種符號方便已了解符號意義的學習者理解與記憶具體數學知識與數學信息.在對學生的數理邏輯教學中，可以滲透使用多種符號語言進行邏輯推理與相關分析，例如著名的蘇格拉底論證可以寫成符號語言：

(?x)(H(x)→M(x))∧H(s)?M(s)

其中，H(x):x是一個人，M(x):x是要死的，s:蘇格拉底.

轉化成文字語言其實就是蘇格拉底論證：人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的.

將符號語言轉化成文字的能力不僅僅是高等數學研究常用到的能力，在小學數學與中學數學的學習過程中也常常需要應用這種能力.

(3)圖形語言轉化能力

數學中有各種各樣的圖形與表格，例如函數圖象、幾何圖形、程序框圖、數值表、統計表等.將這些圖形與表格中包含的各種信息轉化為文字語言或者符號語言的能力，就是圖形語言轉化能力.

在高中學習三角函數的時候，需要從三角函數圖象中獲得相關信息，如下圖：

2.2 問題解決方面的數學質疑式閱讀能力

喻平[6]認為，問題解決是在概念、命題學習的基礎上，應用知識去解決問題的學習形式.在解決一個問題的過程中，學習者也會學到某些新知識.問題解決從宏觀角度看，是讓學習者運用數學知識解決現實問題或將現實問題進行數學建模的形式，從微觀角度看，是讓學習者解決某一知識點或某一學段的數學習題的形式.問題解決能夠培養學習者應用數學的意識和能力，從而體會到數學的應用意義.

數學質疑式閱讀能力在問題解決方面，主要作用于對已知條件的解讀能力和對問題解決思路的分析能力.

(1)對已知條件的解讀能力

在質疑式數學閱讀過程中，對題目已知條件的認真解讀與否決定了解決問題的對錯，例如有這樣的一個已知條件：

(2)對問題解決思路分析能力

對于質疑過程中提出的問題，通過質疑式閱讀，先將題目的已知條件分析透徹，之后要考慮怎樣解決題目要求解的問題，即問題解決的思路是什么.

例如，已經將已知條件整理成了最簡單的形式tanα=-3，待求解問題是

由于分子的式子與倍角公式很相似，部分學生馬上套用倍角公式進行轉化，但是在轉化后卻不知如何進行，因為已知條件與倍角沒有明顯關系.

其次，對于有待解決的質疑問題，通過質疑式閱讀，還可以考慮在只知道一個值的情況下求式子的解，最理想的情況莫過于將式子轉化成只有已知值的形式.分子的兩項又都是兩個三角函數相乘，可以嘗試在分子上加分母1，從而

由于sin2α+cos2α=1，可以帶入進行約分，轉化成只含tanα的形式，賦值即可解決，這樣能收到好的效果.

2.3 信息獲取方面的數學質疑式閱讀能力

數學包括數學思維與數學知識，隨著社會的信息化發展，信息的獲取越來越重要，能不能從各種各類信息中獲得需要的信息是一個人信息獲取能力的重要體現.結合數學學科，數學質疑式閱讀在信息獲取方面需要學習者在各種形式各種載體的信息中獲得與數學知識和問題解決方法有關的信息.具體來說，這種能力既包括對關鍵信息的提取能力，又包括對信息中蘊含的數學知識進行有效檢索和應用能力，不僅可以提高學生的思維品質，還有利于培養學生的質疑能力和創新精神.

(1)關鍵信息的提取能力

數學思維能力主要考慮從相關信息中獲取數學思維的能力.即通過閱讀相關信息，是否能獲取某些數學思維并運用于之后的問題解決中.

例如，《孫子算經》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”現行的解題思路一般是列方程求解，但古時提出了“半其足”的巧妙算法.這里的“半其足”就是最為關鍵的信息.翻譯成現代的解釋是：數一數所有雞和兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，而每只兔就變成了“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳就由94只變成了47只；而每只“雞”的頭數與腳數之比變為1:1，每只“兔”的頭數與腳數之比變為1∶2.由此可知，有一只“雙腳兔”，腳的數量就會比頭的數量多1.所以，“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳的數量與他們的頭的數量之差，就是兔子的只數，即：47-35=12(只)；雞的數量就是：35-12=23(只).

通過對上述數學質疑式閱讀材料的分析，關鍵信息的提取能力十分重要，這種閱讀能力不僅可以幫助學習者準確理解問題的實質，把握解題規律，而且可以獲取一題多解、假設求解、比列求解等多種解題思路，從而拓展學習者的思維.

(2)數學知識信息的檢索能力

數學知識信息的檢索能力主要考慮從相關信息中及時檢索到已有數學知識的能力.例如，在向學習者介紹黃金分割之后，學習者能否應用這一數學知識解決實際問題，以檢驗學習者是否真正獲取了數學知識.

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618.這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.

對于問題[7]：女士應該穿多高的高跟鞋看起來最美？

學生在遇到這個問題時，立馬能檢索到黃金分割的知識信息：人下肢與身高比為黃金分割時看起來最美.設女士身高為lcm，下肢軀干部分為xcm，鞋跟高為dcm.可列式：

從而迅速巧妙地解決問題.

3 總結

數學質疑式閱讀能力有不同方面的具體體現.這種不同并不沖突，不同方面的數學質疑式閱讀能力往往需要共同發揮作用以實現真正高效的數學質疑式閱讀活動.例如信息獲取方面的數學質疑式閱讀能力，往往需要語言轉化方面的文字語言符號化能力，同時還可能作用于問題解決方面的解決思路分析能力，等等.因此，培養學習者的數學質疑式閱讀能力，要結合學習者的特點，依據閱讀目的和學習要求，從不同方面綜合分析后進行針對性的培養.