高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展研究性學(xué)習(xí)的途徑

鄭必強(qiáng)

【摘要】 研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，以類似科學(xué)研究的方式主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題，并在研究過程中通過多種渠道主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的學(xué)習(xí)活動.在此指導(dǎo)下，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，以學(xué)生動手動腦主動探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式，開展基礎(chǔ)性、拓展性的學(xué)習(xí)研究活動.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);研究性學(xué)習(xí);途徑

一、在課堂教學(xué)中設(shè)計“研究性學(xué)習(xí)”的教學(xué)過程

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)是“結(jié)果”的教學(xué)，而應(yīng)是“過程”的教學(xué).數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，就是要把知識的形成、發(fā)展過程展現(xiàn)給學(xué)生.具體來說，就是要把問題的提出過程、知識的獲取過程、結(jié)論的探索過程、問題的深化過程等分析、解決問題的艱難曲折過程展現(xiàn)出來.

例如，筆者在“正弦、余弦的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)中，把這個問題作為小組研究課題進(jìn)行分析探討：

1.提出學(xué)習(xí)課題（使學(xué)生明確研究方向）：銳角三角函數(shù)，可以查表求其值;能否利用已有的銳角三角函數(shù)表解決任意角的三角函數(shù)求值的問題？

2.確定研究方案（引導(dǎo)學(xué)生，如何把這個課題逐步具體與明確化，即要明確做什么？怎樣去做？尋求解決問題的思想方法）：我們已學(xué)了誘導(dǎo)公式一，有了它就可以把任一角的三角函數(shù)求值的問題，轉(zhuǎn)化為0°～360°間角的三角函數(shù)求值的問題.那么能否再把0°～360°間角的三角函數(shù)求值，繼續(xù)化為我們熟悉的0°～90°間角的三角函數(shù)求值的問題？

通過引導(dǎo)，學(xué)生逐步得到了解決問題的思想方法：

（1）分象限來解決——把范圍縮小到0°～360°，由于終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值可求，與終邊相同的角的三角函數(shù)值完全相同，故可取（0°，90°）、（90°，180°）、（180°，270°）、（270°，360°）作為四個象限的代表.

（2）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為銳角來解決——變?yōu)榫唧w研究180°-α與角α的三角函數(shù)關(guān)系（這里，關(guān)鍵要講清楚如何用銳角α來表示各象限周內(nèi)角）.通過數(shù)形結(jié)合很容易得到這種關(guān)系，即：若銳角用α表示，則第二象限周內(nèi)角用180°-α表示，第三象限周內(nèi)角用180°+α表示，第四象限周內(nèi)角用360°-α表示.

到此，學(xué)生已明確了具體的任務(wù)：要研究180°-α，180°+α，360°-α，-α，α的三角函數(shù)關(guān)系（增加-α是為了利于負(fù)角變正角，使計算更為簡捷）.

3.班級小組研究學(xué)習(xí)：抓住主要矛盾來解決——結(jié)合單位圓及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式推導(dǎo).

4.班級討論研究：其余公式的推導(dǎo)與規(guī)律的概括.首先根據(jù)推導(dǎo)公式sin（180°+α）=-sinα，cos（180°-α）=-cosα，筆者提出如下問題讓學(xué)生討論：上述公式是在角α為銳角的情況下推導(dǎo)出來的.如果把α擴(kuò)展到定義域中的任意角時，公式是否仍成立？通過研討后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)對誘導(dǎo)公式中的α，開始我們只要求為銳角就足夠了，但推導(dǎo)結(jié)果卻打破了我們的限制，即公式對任意角都適合，這個收獲大大提高了公式的應(yīng)用價值，使學(xué)生從中領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的某種妙處.從銳角到任意角這一改進(jìn)，是認(rèn)識規(guī)律的一個飛躍.其次，從一節(jié)課中所推導(dǎo)的四組誘導(dǎo)公式，要求學(xué)生通過觀察分析，能否概括出其統(tǒng)一的規(guī)律？（引導(dǎo)）——“=”左右兩邊函數(shù)的名稱有什么聯(lián)系？函數(shù)值前面的號的放置有什么規(guī)律？從而得出“函數(shù)名不變，符號看象限”的規(guī)律.

這個課例，不僅使學(xué)生掌握運(yùn)用單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式這種數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)的思想方法，更重要的是學(xué)到了研究問題的方法.例如，研究事物必須提出具體化的問題，即確定好課題十分重要;在研究問題時，應(yīng)該講究策略，應(yīng)該抓住問題的主要矛盾來解決;掌握一定的素材后，就要善于分析，進(jìn)行抽象概括.

二、在課堂上設(shè)置數(shù)學(xué)開放題引導(dǎo)學(xué)生研究學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)開放題體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數(shù)學(xué)開放題可以用來培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功感，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美感.因此，數(shù)學(xué)開放題用于學(xué)生研究性學(xué)習(xí)是十分有意義的.

開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，通常是改變命題結(jié)構(gòu)、改變設(shè)問方式、增強(qiáng)問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋，進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題.近年高考題中也出現(xiàn)了開放題的“影子”，如下列高考題：“關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+ πn 3 ）（x∈ R ），有下列命題：① 由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是n的整數(shù)倍;② y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos 2x- π 6? ;③ y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn) - π 6 ，0 對稱;④ y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=- π 6 對稱.其中正確的命題是 .（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）”顯然高一《數(shù)學(xué)》第一冊下第63頁例4“畫出函數(shù)y=3sin 2x+ π 3? 的簡圖”可作為其原形.在講此例時，筆者設(shè)計了開放的問題.再如，在講集合有關(guān)概念時，筆者設(shè)置問題：“是否存在這樣的集合，它的某一個元素又同時是它的子集？”學(xué)生通過對這樣開放題的研究學(xué)習(xí)，逐步形成自覺的開放化和個性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)自己的實(shí)踐能力.

研究性學(xué)習(xí)的開展需要有合適的載體，而數(shù)學(xué)開放題作為研究性學(xué)習(xí)的載體，滿足了學(xué)生求知的欲望，充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生的創(chuàng)造潛能得到了極大的發(fā)揮.實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)開放題用于研究性學(xué)習(xí)是合適的.

總之，注重設(shè)計“研究性學(xué)習(xí)”的教學(xué)過程，設(shè)置數(shù)學(xué)開放題引導(dǎo)學(xué)生研究學(xué)習(xí)，其目的在于改變學(xué)生以單純地接受教師傳授知識為主的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境.滿足學(xué)生在開放性的現(xiàn)實(shí)情境中主動探索研究、獲得親身體驗(yàn)、培養(yǎng)解決實(shí)際同題能力的需要.