淺析轉化與化歸思想在高三數(shù)列專題復習中的應用

范建珍

化歸與轉化思想是重要的數(shù)學思想方法之一，它是學生運用所學知識解決數(shù)學問題的重要途徑，是處理解決復雜問題方法的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的沃土[1].所謂的化歸與轉化思想是指在研究或解決數(shù)學問題時，借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式，將問題變換歸結為已經解決或者比較容易解決的問題，進而使原問題得到解決的一種解題策略[2].簡而言之，即“化生為熟、化繁為筒、化難為易、化未知為已知”，轉化和化歸的特點是通過不斷轉化實現(xiàn)問題的熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化等，以便應用已知的知識和方法達到問題的有效解決[1]，其一般模式如圖1：

在數(shù)學學習的過程中處處都體現(xiàn)著轉化與化歸思想，常見的轉化有一般與特殊的轉化、正與反的轉化，特殊與一般的轉化，整體與局部的轉化，高維與低維的轉化，數(shù)與形的轉化、等價轉化等，

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容，是高考考查的重點，縱觀近年來新課標全國卷對數(shù)列考查的重點是以等差等比數(shù)列為載體，包括常見的簡單變形，考查學生對數(shù)列基礎知識和基本技能的掌握，以及運用所學知識經驗解決問題的能力和素養(yǎng)，特別是對“推理論證能力”、“運算求解能力”、“應用意識”以及“邏輯推理”和“數(shù)學運算”的考查.

由于數(shù)列公式多、計算雜、題型多樣，且常與其他知識點結合起來考察，所以對于基礎薄弱的高中校學生來說難度較大，學生常常因記憶不全，“思想”不明，用法不清，邏輯混亂，思維受限制，再加上運算能力低下，以及缺少反思感悟，因此在數(shù)列問題上出錯概率較大，失分現(xiàn)象較為普遍，本文以數(shù)列問題為例從四個方面闡述化歸與轉化思想在高三專題復習的應用，以例題為載體，以化歸與轉化思想滲透為核心，通過對基礎知識的梳理構建和基本題型的變式訓練，以期達到串“點”成“線”的目的，促進學生對基礎知識的掌握、基本技能的形成以及相應能力素養(yǎng)的發(fā)展，切實提高復習的有效性.

1 陌生問題熟悉化

在教學實際中，常常會看到這樣的現(xiàn)象：基本公式學生是會的，但是有些學生卻不明白什么時候該用哪個公式，因此在教學中應教學生學會將陌生問題熟悉化，并運用已有的知識、經驗和方法解決當前問題，

設計意圖首先，例1和變式1既先讓學生嘗到到陌生問題熟悉化的“甜頭”，又起到溫“等差、等比數(shù)列定義公式”之故，進而為知“更為陌生的問題熟悉化”之新做鋪墊，讓學生把數(shù)列問題轉化為簡單的等差、等比數(shù)列問題，再借助等差、等比數(shù)列的定義和通項公式解決問題，讓學生養(yǎng)成不斷回到概念去，是解決數(shù)列問題的常見的轉化思路;其次，隨著變式2～4問題的難度的逐步加大和問題形式的不斷復雜化，讓學生通過啟發(fā)和引導不斷地“化陌生為熟悉”，逐步掌握“陌生問題熟悉化”的基本“程序”，這樣設計符合學生的認知規(guī)律，激發(fā)學生探索的熱情，讓學生全面看待問題，學會合理轉化，感悟化歸與轉化的思想方法，把握等差等比數(shù)列定義的本質，熟練基本公式，通過啟發(fā)引導使學生不斷實現(xiàn)“從陌生到熟悉、從不懂到懂”，掌握基礎知識，形成基本技能，積累基本活動經驗.

2 未知問題已知化

當解決問題方向模糊時，可以通過適當對問題的表面形式加以挖掘、探究，找到“溝通”已知的“連結點”，進而達到未知問題已知化的目的，再借助已有的知識、經驗和方法解決問題，

變式5若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在x-y+2n+l=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式6 若把例1條件“在x-y+l=0上”改為條件“在x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式7 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式8若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+1=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式9 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式10 若把例1條件“點Pn（an，an+1）（n∈N*）改為“只（Sn，an+1）（n∈N*）”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

變式11 若把例1條件“點Pn（an，an+1）（n∈N*）在x-y+l=0上”改為“P（Sn，Sn+1，an+1）（n∈N*）在x-y=O上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項公式，

設計意圖 首先通過變式5～7的解決讓學生進一步對等差、等比數(shù)列的定義進行辨析，把握等差、等比數(shù)列定義的本質，同時回顧等差等比數(shù)列通項公式的求法，讓學生學會將知識、方法進行正向遷移，從而達到未知問題已知化的目的;其次通過變式8，9的解決，讓學生逐步學會“透過現(xiàn)象看本質”，并將未知問題已知化，讓學生體驗感悟將新問題化為老問題，即努力將新問題化歸為等差、等比數(shù)列基本問題來解決是解決數(shù)列問題的基本思路和常規(guī)做法，合理轉化，滲透定義法、加K法、倒數(shù)法、疊加法、累乘法等;再次拋出變式10，11讓學生探究，加強比較，讓學生感悟在a與Sn同時出現(xiàn)的關系式中，一般通過進行轉化，使關系式僅含an或Sn，再根據(jù)情況進行處理，學生動腦獨立思考嘗試解答，并參與編題，加深學生對此類題型的印象;通過長期這樣的基本技能演練和數(shù)學思想方法的熏陶，學生就能逐步地將教師的做法轉化為其自覺行為，從而能逐步較有“章法”地解決數(shù)列問題.

3 復雜問題簡單化

通過一定形式的變形轉換將復雜問題化歸為熟悉的簡單問題，通過對簡單問題的解答，達到解決復雜問題的目的，或者獲得某種解決問題的啟示[1].

例2 （1）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3x2n，a1=2，求數(shù)列{an）的通項公式，本例（3）嘗試讓學生體驗把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題，引導學生執(zhí)行數(shù)學運算三步曲：理解、選擇、運算，注重方法的選擇，規(guī)范答題的板書，結合課件展示，最值問題是普通高中學生掌握較為薄弱的題型，學生往往不知道如何下手，從何入題，結合學生實際，我們在平時的教學中，應該逐步滲透并總結出求數(shù)列最值問題的方法：（1）轉化為函數(shù)的單調性;（2）運用遞推公式，通過例2的解決讓學生體驗通過一定形式的變形轉換，將復雜的問題化歸為我們所熟悉的簡單問題，使問題得以輕松解決，讓學生親歷如何由“山重水復”到“柳暗花明”的過程，掌握通解同法、形成基本技能、感悟思想方法、積累基本活動經驗.

4 抽象問題具體化

通過考察問題的極端元素，靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復雜運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度[1]，

設計意圖本例（1）用基本量法可以解決，但本題是填空題，在考試時最好能做到“省時、準確”，由題意可知，只要滿足a1，a3，a9成等比數(shù)列的條件，數(shù)列{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值無關，因此可以將抽象數(shù)列具體化，例如a=n，則課輕松求得本例（2）的解決具體化方法則更顯優(yōu)勢，結合題目信息，通過考察問題的特殊元素（即特值法），靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復雜運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.

5 結束語

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓和靈魂，因此數(shù)學教學中數(shù)學教師應樹立“思想”意識，將隱性的思想方法充分的地挖掘出來使之顯性化，并貫穿在課堂教學的全過程，然而羅馬不是一天就蓋起來的，數(shù)學思想方法的滲透、掌握和靈活運用需要長期不懈的努力，但只要用心澆灌定能結出碩果，

參考文獻

[1]詹爽姿.數(shù)學高考中的化歸與轉化思想[J].中學教研（數(shù)學），2016（3）： 41-45

[2]楊恩彬，柯躍海，陳清華.化歸與轉化思想的數(shù)學能力統(tǒng)領功能探析[J].福建中學數(shù)學， 2013 （10）：4-7