落實核心素養的初中幾何推理能力培養對策

丘富喜

邏輯推理成為人類生活所需要的“共通”素質[1].在國家公務員、管理人員的各類選拔中，都將邏輯推理作為重要的一項基本技能進行考察，而《義務教育數字課程標準（2011年版）》提出應當注重培養學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識[2]，幾何推理在數學教學中培養學生邏輯推理能力起著非常重要的作用，著名數學家楊樂院士說“凡從事數學研究和數學教育的人，都會對從中學學習幾何時受到的嚴格的邏輯思維訓練有很深的體會，似乎很難找到別的方式來代替它對邏輯思維的培養”[3].

在教學中發現學生數學成績的分化是從學習幾何推理后開始：一方面，因為幾何推理的有趣和富有挑戰性提高了學生學習數學的興趣，另一方面有些學生對幾何推理的難以適應，產生怕幾何一怕數學一厭數學一放棄數學的連鎖反應，其原因在于（1）初學幾何概念多、幾何語言要求嚴謹、邏輯推理抽象;（2）學生從小學的算術、代數轉為初中幾何，由數到形、由計算到推理的轉變，學生難以適應;（3）部分教師認為教幾何證明比幾何推理更有把握，所以在教學中一味強調幾何證明，采用“撒網式”教學方法，急功近利，忽視學生的認知發展規律，

依據學生認知特點、學習特點，建立促進學生幾何推理能力的教學系統，幫助教師進行有效地進行幾何教學設計，把其分為為孕育期、發展期、成熟期三個階段.

1 孕育期：直觀實驗語言互換

1.1 注重培養學生直觀推理

低年級學生的幾何推理水平較低，通常通過對實物的表象來判斷實物的屬性，通過看一看，量一量，做一做的直觀實驗來進行推理和判斷，

例1 幾何體的識別，下列圖形的名稱按從左到右的順序依次是（ ）

A.圓柱、圓錐、正方體、長方體

B.圓柱、球、正方體、長方體

C.棱柱、球、正方體、長方體

D.棱柱、圓錐、四棱柱、長方體

評析 通過引導，讓學生把實物和在頭腦與已知的幾何體的形象進行比較，從而推理和抽象出幾何圖形，在教學中，應不斷培養學生的直觀感知，從而提高對圖形的直觀推理能力.

1.2 注重培養描述推理

在幾何學習中，文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言是培養學生幾何推理的基礎，而描述推理的培養就算表現為正確運用文字語言，圖形語言，符號語言;能進行三種語言的轉換，教師可以從以下三個方面來加強學生的描述推理能力.

1.2.1 加強學生幾何文字語言的嚴謹性

幾何文字語言和平時的文字語言有一定的區別，教師在教學中要注重自己的幾何語言規范和板書規范，對學生在學習過程中產生的不夠嚴謹規范的幾何表述應及時給予糾正，促使學生養成良好的幾何文字語言的嚴謹，為培養幾何推理打下扎實的基礎，

例2 下列說法正確的是（ ）

A.兩點之間，直線最短;

B.過一點有一條直線平行于已知直線;

C.有兩組邊與一組角對應相等的兩個三角形全等;

D.在平面內過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，

評析 通過引導，讓學生逐漸掌握對幾何文字使用的嚴謹性和規范性，剛開始學時，學生對“有且只有”、“互相”、“交于一點”等語言的使用不太規范，所以教師在教學中得不斷地強化，讓學生不斷適應規范語言的使用.

1.2.2 加強文字語言和圖形語言的轉化

例3如圖1，四點A，B，C，D，按照下列語句畫出圖形：

（1）直線AC和線段DB相交于點O;

（2）延長線段AD至E，使AD= DE;

（3）畫射線BA;

（4）反向延長線段BC.

評析通過引導，讓學生逐漸掌握文字語言和圖形語言的轉化，在教學中通過“文字一圖形”、“圖形一文字”訓練學生在不同語言間相互轉化，并且通過不斷示范和糾正強化學生對數學語言使用的嚴謹.

1.2.3 加強幾何符號語言的正確表達

用幾何符號語言來表達推理過程是學好初中幾何的前提，在教學中，教師應引導學生掌握“∵（因為），∴（所以）”的幾何符號語言的模式，能夠把定義、定理、性質由文字語言轉為為符號語言，從而簡化書寫，使得推理思路明確和清晰，

例4 平行線的判定2（圖2）：內錯角相等，兩直線平行.

符號語言：若∠l= ∠2，則m∥n.

證明∵∠1=∠2（已知），

∠1=∠3（對頂角相等），

∴∠2= ∠3（等量代換），

∴m∥n（同位角相等，兩直線平行）.

評析通過引導，讓學生明確如何將文字轉化為幾何符號語言，并用引導學生用幾何符號來進行嚴謹的推理過程的證明，同時在教學中，讓學生明確語言的聯系;有意識地用推理性的語言引導學生靈活地在三種語言的不斷轉化;適當增加簡單符號語言的推理格式要求.

2 發展期：簡單關系的推理幾何證明的模仿

學生有直觀推理能力和三種語言為基礎后，要重視學生邏輯規則的學習，培養學生如何建立已知和未知之間的關系推理和對幾何證明的模仿.

例5三角形全等的證明（后面得有依據）：

如圖3，點E，C在BF上，AB=DE，AC=DF，BE= CF，求證：∠A=∠D.

分析思路

評析通過上面的分析，引導學生明確形成“已知一結論”的正推模式，規范性的證明格式讓學生從模仿到自覺地形成規范，養成良好、嚴謹的推理能力， 評析通過討論，讓學生思考曾經學過的知識何為180°，逆向思考，從而搭建起“已知一結論”的橋梁，

在培養學生推理能力時，讓學生緊緊圍繞條件和結論開展推理活動，尋求條件或結論中的“枝節”關系，可以由條件到結論的正向推理，也可從結論到條件的逆向推理，甚至于可以從條件和結論往中間推理，建立起他們之間的關系，搭建“已知一結論”的橋梁，同時嚴格要求學生的幾何證明格式，讓學生“模仿一自覺”地使用嚴謹的證明過程.

3 成熟期：結構關聯的推理形式邏輯的推理

學生在有基本的邏輯規則，有了幾何證明的嚴謹意識前提下，注重培養學生的幾何結構關聯推理和形式邏輯推理，

幾何結構關聯推理主要表現為（1）識別不同圖形的特征和相關圖形間的關系;（2）從復雜圖形中，找到基本圖形，接受其內在隱含的關系，學生常常在復雜的圖形推理問題中無法進行下去，就是因為無法從復雜的圖形中抽象出幾何基本圖形、基本模型，無法尋求其幾何圖形的本質，所以說培養幾何結構關聯推理在幾何推理中起著重要的作用，而幾何命題的真假不能靠直觀和實驗的基礎上來確認，必須通過嚴謹的形式邏輯的方式來證明，形式邏輯推理就是在結構關聯推理后進行關系的轉化和重組，建立起所需要的各種關聯，按照形式邏輯推理的規則書寫推理過程.

例7（2017年福建中考·24）如圖7，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC，BC上的點，且四邊形PEFD為矩形.

評析本題從圖形中挖掘出“手拉手”模型的相似基本圖形，提供了思考的方向，而在需要求證∠PCF= 90°時，發現四點共圓的基本圖形，又再次提供了思考的方向，所以在證明探究中，遇到推理不下去時，常常會通過發現基本圖形，基本模型，發現其幾何本質，提供學生思考方向，有一種柳暗花明又一村的感覺.

評析 當學生能通過幾何結構關聯推理尋找出整個推理方向和推理思路后，培養學生熟地用形式邏輯進行表達，完成幾何證明的全部過程.

在教學中培養學生幾何結構關聯推理能力和形式邏輯推理，應重視結構良好的幾何證明，培養學生對眾多關系、復雜圖形選取所需要的關系和基本圖形，進行關系的轉化和重組，并通過嚴謹的形式邏輯規則表達證明過程.

4 結束語

幾何推理能力的培養是加強學生核心素養的重要組成組成部分，在幾何教學中，不能拔苗助長，應遵循孕育期一發展期一成熟期的規律，遵循學生心理、智力的發展特點，循序漸進地強化幾何的學習，讓學生在學習中得到成就感，激發他們的探究的欲望，促使全體學生幾何推理能力的提高.

參考文獻

[1]李紅婷.初中生幾何推理能力發展研究[J].教育研究與實驗，2009 （06）：81-85

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011

[3]馬俊彤，數學史教育在中小學數學教育中的作[J].遼寧師專學報（自然科學版），2006 （02）： 83

[4]田載今，李海東.幾何教學中的直觀實驗與邏輯推理[J].數學教學，2005 （06）： 2-4