探求多維視角 踐行一題多悟

繆凌穎

數學的教研活動一直以來都是數學教師成長的最佳途徑之一，因此如何促進教師的專業成長應該也必然成為教研的主題，眾所周知，解題析題不僅是數學發展的主要形式，更是數學教學的主體之一，近年，隨著中考試卷的難度增加，如何優化解題教學路徑是廣大數學教師共同思考的一個問題，因此筆者所在的學校數學組經過長期深入研究，提出“類型化選題一切題點分析一多思多悟一橫縱深推進”教研活動模式，旨在提高教師深入思考題目立意，挖掘背后的思想方法，引導教師從提高學生數學核心素養的角度深度剖析數學問題，解題教學時展示思維過程，提高中考復習的效率，本文以一個案例說明教研活動模式和對解題教學研究的一些理解.

1 選題背景

解題是每個數學教師必須磨練的基本素養，學校教研組平常要求教師多解題、多研究，提前一周選定主題和主講人，試題選取標準以“試題背景”“研究價值”為主要參考，主講人應說明試題背后的數學知識、思想方法、數學素養.

1.1 原題呈現

（2018年寧德市質檢.24）如圖1，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一個動點，連接AD，以AD為邊向右側作等腰直角AADE，其中∠ADE= 90°.

（1）如圖2，G，H分別是邊AB，BC的中點，連接DG，AH，EH.求證：AGD∽AHE;

（2）如圖3，連接BE，直接寫出當BD為何值時，ABE是等腰三角形;

（3）在點D從點B向點C運動過程中，求ABE周長的最小值.

1.2 入選說明

本題入選是基于以下幾個方面的思考：首先，這是一道幾何動態壓軸題，綜合性強，涉及知識面廣，包括相似、等腰三角形、對稱、勾股定理等;其次，背后的數學思想方法多，包含轉化、變換、構造、分類討論、解析法等;第三，解法靈活多變，可多角度切入思考，發展發散思維，本文重點談第（2）、（3）問，它們分別屬于等腰三角形的分類問題和運動過程中動點的路徑問題，從各地市的模擬卷和中考卷來看，這類問題已成為命題的關注點，因而對此類問題的解題通法研究和拓展富有意義和研究價值.

2 巧思妙解，集思廣益

教研活動時，組長把選題發給組員，要求大家在限定時間內解題，并在黑板上寫出自己的思路，分享體會，鼓勵大家從通性通法、特殊巧解、合理變式、教學思考這四個角度去分析問題和解決問題.

2.1 借助勾股，尋找思路

通過對（2）問的分析，我們得出解題關鍵是對ABE是等腰三角形哪兩邊為腰進行分類討論，如何通過設元借助勾股定理合理地表示三角形的三條邊呢？看似思路簡單，卻蘊含著大量的計算，但不失為一種解決問題的通法，EH為線段AB的垂直平分線，則直線EH必過點G，

∴當BD=O或√2或2√2時，MBE是等腰三角形.

研習與反思這是針對當BE= AE時的一種巧妙的解題思路，利用垂直平分線的判定定理將（1）、（2）兩小題聯系在一起，將問題轉化為已知的結論進行求解.

2.3 再探距離，以直代折

如何求解第（3）問呢？已知AB=4，則只需思考何時BE +AE最小，

思路1 由第（2）問的解法1知：

研習與反思由設元將幾何問題代數化，利用兩點間的距離的幾何意義來解決最值問題，在初中階段兩點間的距離公式是教學的良好補充，教師可用此法來開拓思路、引發問題探討，問題1：為什么x=√2呢？此時若作點A關于點C的對稱點A，如圖7，是否有B，E，A三點共線呢？問題2：連接CE，CE是否垂直平AA呢？問題3：點E的運動軌跡是什么？如何證明呢？

研習與反思以上解法主要分兩個步驟，先證點E的運動軌跡在一條確定的直線上，再利用“將軍飲馬”模型來解決問題，這說明本題最大的難點在于探究點E的運動軌跡，但此法是點E在直線BC的下方，若點E在直線BC的上方呢？注意到ACE∽AHD仍然成立，所以∠ACE =∠AHD= 90°，即點E的運動軌跡是在一條確定的直線上，如圖9，觀察圖形會發現∠ACE=∠ADE= 90°，聯想到直徑所對的圓周角為直角，因此A，D，C，E四點共圓，能否由四點共圓來證明呢？

研習與反思在旋轉過程中又伴隨著角度的不變，往圓周角方面去思考往往有柳暗花明的感覺，盡管在考綱中對四點共圓的要求有所淡化，但從各地的模擬卷、中考卷中均有不同程度的體現，

研習與反思也可直接設E（x，y），去尋找點E橫、縱坐標所滿足的關系，或者過直角頂點D構造出“K”型圖來求取點E的坐標，從而確定E點的運動軌跡，建立直角坐標系可以實現幾何與代數問題的完美轉化.

2.4 回歸本質——旋轉位似

回顧各類解法，重新審視E點的軌跡，它的形成過程是由D點來決定的，每一個E點都是由D點繞著旋轉中心A點逆時針旋轉450再按1：√2位似放大得到，而D點的運動軌跡是一條線段，因此E點的運動軌跡也是一條線段，且點E經過的路徑長一定是點D經過的路徑長的√2倍，這是用一種函數的觀點來刻畫圖形的運動變化.

3 精心變式，觸類旁通

合理變式是走出題海的最好辦法，緊緊抓住題目的核心知識改變其外在形式，對題目進行充分拓展，挖掘其內在本質，才可以真正做到觸類旁通，培養發散思維和創新精神，同時也可以提高教師的命題水平，

變式1改動點的運動路徑，如圖12，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于D，P是CD上一個動點，以P為直角頂點向下作等腰直角PBE，連接DE，求DE的最小值，

研習與反思由思路2的解答想到，連接AE，易證ABE∽CBP，則∠BAE= 45°，所以E點在直線AE上運動，考慮垂線段最短和中位線的相關知識，得出DE的最小值為2.

變式2改等腰直角三角形為矩形，如圖13，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P，E分別是線段AC，BC上的點，且四邊形PEFD為矩形，求在點P的運動過程中，點F經過的路徑長，變式2和變式1類似，只不過相似的證明稍有不同（但在原題的解法中均有呈現），有興趣的讀者不妨試一試.

4 解而思教，悟道有方

4.1 以知識為載體的素養思考

以旋轉相似為背景的壓軸題，往往和四邊形、三角形、圓、函數等知識綜合，結合其他代數、幾何知識來命題，既讓圖形問題生動有趣又富有數學味，又是考查數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學建模等數學核心素養的良好載體和培養學生創新意識和運動觀點的良好契機，圖形的變換問題要求抓住圖形運動時的不變量，從點、線、面著手，把握變化規律，將其中的數量關系表達出來，這要求教學要時時關注到學生的知識能力，關注知識的內在聯系，關注思維層次，關注核心思想和素養.

4.2 復習建議

近年來，以圖形的運動為命題角度的中考數學試題在各地市已經屢見不鮮，因此，在復習中應引導學生回歸旋轉的本質，并運用這些基本性質來分析問題和解決問題，特別是積累各類基本模型，不斷積累解題經驗，以數學基本思想為指導，通過適當的變式訓練，提高學生解決與圖形有關的問題的能力，培養學生思維的廣闊性、敏捷性、靈活性，在具體實施過程中，建議借助方格紙來幫助學生操作圖形的旋轉，同時厘清圖形運動的本質是一個點的集合進行同樣的圖形變換，前后的圖形之間的各種對應關系往往是解題關鍵，有條件的課堂教學可以結合幾何畫板進行模擬操作，引導學生深刻理解運動過程中的每個時刻圖形又都是相對靜止的，這些靜止時刻的圖形和原圖形又有哪些不變性.

4.3 自省內化

以說題為載體的研修活動，要求教師在解題之后反思思維過程，暴露思維局限，在交流中學習新的思考角度，優化解題方法，歸納解法共性，這對解題能力的提高和經驗的積累大有裨益，同時研修活動也將教師置于學生的同等情境，體會解題的樂趣和成就感，只有這樣課堂教學中才能更合理地說明“為什么這樣思考？”、“這些思考是基于什么背景？”久而久之，學生在解題過程中也會學會反思，提高自身的反省能力.

參考文獻

[1]顧宏萍，孫學東.在問題合理性分析的過程中聯想解題思路EJl.中學數學教學參考：中旬，2018 （4）： 20-22

[2]邵文鴻.研題探解變式論法[J].中學數學教學參考：中旬，2017 （11）：65-67