“數”與“形”的碰撞

杜成北 陳景文

數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題，體現了數學抽象和直觀想象的核心素養，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，“數”和“形”之間可以相互轉化，同時必須相互聯系、相互滲透，否則容易走進誤區，本文通過一道試題談談對數形結合思考，供各種考試命題者參考，以免走進誤區.

1 題目呈現

2 考查目標

本題主要考查函數的零點（或轉化為兩曲線的交點），函數圖象的對稱問題;同時運用了化歸與轉化、數形結合等數學思想方法，旨在培養學生直觀想象核心素養.

3 錯誤解答

原函數在y軸左側的圖象是一段正弦型曲線，在y軸右側的圖象是一條對數曲線，要使得圖象上關于y軸對稱的點至少有3對，可將左側的圖象對稱到y

4 揭秘“真相”

5 分析錯因

問題的根本原因在于這是兩條曲線相切問題，與直線和曲線相切是有一定區別的，而且本題的參考解答只注重“形”的直觀性，忽略“數”的嚴謹性驗證，下面是筆者從“數”的角度去思考，驗證此“形”的直觀性有誤.

6 解決方案

通過上述分析，筆者認為此題的正確解法應該從曲線與曲線相切的角度思考，那么曲線與曲線相切的充要條件是什么呢？一般地，“曲線與曲線相切”的定義是：若曲線C1與曲線C2有公共點P（x0，y0），且它們在該點處的切線重合，即曲線C1與曲線C2在點P處相切（曲線與曲線相切包括直線與曲線相切

7 錯解啟示

通過以上試題的分析，筆者認為有幾點值得關注，其一，命制或求解有關數形結合的問題時，切勿重“形”輕“數”或者將二者割裂，數學家華羅庚對此亦有這樣的論述：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休;其二，涉及相切方面的命題最好應選擇直線與曲線相切方向，盡量回避曲線與曲線相切，確實命出適合高中生可以解決的試題.

參考文獻

[1]甘志國.各種各樣的曲線相切Jl.數學通訊，2014 （4）： 68-70