從一道高考題談“單峰”、 “單谷”函數(shù)問題

盧陽 李勇

在所考慮的區(qū)間中只有一個(gè)嚴(yán)格局部極大（小）值的函數(shù)稱為單峰（谷）函數(shù)[1]，如二次函數(shù)，雙勾函數(shù)等，這些函數(shù)常見于零點(diǎn)存在性和函數(shù)不等式問題中，采用常規(guī)思路解決問題往往難度較大，如若分離出單峰（谷）函數(shù)，其次再對(duì)分離后的函數(shù)進(jìn)行比較，則會(huì)簡(jiǎn)化解題過程.

1 引例呈現(xiàn)

2017年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅲ卷第11題（見例1）是一道將單峰和單谷函數(shù)融合在一起的難題，該題成為了當(dāng)年學(xué)生的“老大難”.2018年，這類題型在高考中再次出現(xiàn)，我們有必要對(duì)其進(jìn)行研究.

點(diǎn)評(píng)該題是以二次函數(shù)和雙勾函數(shù)為背景出題的零點(diǎn)問題，構(gòu)造了兩個(gè)單峰（谷）函數(shù)，運(yùn)用分離函數(shù)法，拆出兩個(gè)函數(shù)，畫出圖象可得出答案.

2 單峰（谷）函數(shù)梳理

上例由于兩個(gè)單峰（谷）函數(shù)很常見，所以我們可以很快分離出來，那么高中階段還有哪些函數(shù)是單峰（谷）函數(shù)呢？請(qǐng)看圖2：

筆者將圖2中的圖象歸為兩類，一類是具有最低谷的單谷函數(shù)，見圖①②③④;一類是具有最高峰的單峰函數(shù)，見圖⑤⑥，[2]

通過對(duì)近年來的考題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)以③⑤、②⑥為背景的題目較多.

點(diǎn)評(píng)該方法是以上述圖②⑥為背景想到的，參考答案從代數(shù)式的運(yùn)算出發(fā)，變形難度較大.

小結(jié)圖2中的6圖在高考題中多次出現(xiàn)，證明這類不等式需要構(gòu)造出一個(gè)“單峰函數(shù)”與一個(gè)“單谷函數(shù)”，然后證明f（x）min≥g（x）max即可，他山之石，可以攻玉，我們自己也可以編出如此題目，下面是兩道筆者自編的小題，

點(diǎn)評(píng)此題參考答案給出的做法是運(yùn)用二次求導(dǎo)，將不等式看成一個(gè)函數(shù)去解決，筆者的做法將不等式變成一個(gè)單峰、一個(gè)單谷函數(shù)進(jìn)行“單挑”比較大小，思路不同，同樣精彩.

最后得出g（x）min≥h（x）max，且不在同一點(diǎn)取最值，此題得證.

點(diǎn)評(píng)一個(gè)復(fù)雜的不等式，從中分離出兩個(gè)單峰（谷）函數(shù)，變形解題，如探囊取物，手到擒來，再次說明分離出單峰（谷）函數(shù)進(jìn)行比較在這類問題中的妙用.

例6 （2016年高考全國(guó)卷I.理21（I））已知函數(shù)f （x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析本題參考答案給出的解法較為復(fù)雜，且技巧性較強(qiáng)，學(xué)生在解題時(shí)會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，而分離函數(shù)后，變成學(xué)生容易畫出的兩個(gè)圖象，從另一角度看待此題，有著意想不到的效果.

解析此題按照直接求導(dǎo)的方法需要分類討論，且計(jì)算煩瑣，若觀察到（x- 2）ex與a（x-1）2（a≠o）時(shí)都是單峰函數(shù)且極值點(diǎn)都在x=l處取到，那么便可找到捷徑，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)g（x）=（x- 2）ex與h（x）= -a（x-l）2有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)易得g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減且恒小于0，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)閔（x）的頂點(diǎn)為（1，0）點(diǎn)，所以h（x）=-a（x-l）2只需開口向下，即a>0時(shí)滿足條件，（a=0時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意）.對(duì)比參考答案，這種解法大大簡(jiǎn)化此題，關(guān)鍵在于了解（x-2）ex為單峰函數(shù).

小結(jié)從上述三例可以看出，復(fù)雜的函數(shù)如若拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單的單峰（谷）函數(shù)，從另一角度解決問題，更易于讓學(xué)生接受，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性與數(shù)學(xué)解題中蘊(yùn)含的魅力.

下面是一道新高考題，本題參考答案的解法相對(duì)復(fù)雜，用本文所說的方法可以很快解決（提示：≥為單峰函數(shù)）.

練習(xí) （2018年高考全國(guó)卷Ⅱ.理21）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥1.

（2）若f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

4 總結(jié)

對(duì)于單峰（谷）函數(shù)問題，尤其是同時(shí)含有ex和Inx的式子，直接求導(dǎo)一般不能或很難解決問題，此時(shí)，需要對(duì)原式進(jìn)行合理“拆遷”，分離出兩個(gè)函數(shù)，再對(duì)變形后的兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較，[3]解決此類問題最大的難點(diǎn)在于如何“慧眼識(shí)珠”，找到隱藏其中的單峰（谷）函數(shù)，平時(shí)應(yīng)注意對(duì)上述6幅圖及其推廣后的情況進(jìn)行積累，解題時(shí)，我們需要具備函數(shù)與方程思想，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分離函數(shù)等基本方法進(jìn)行合理變形，大膽求證.

參考文獻(xiàn)

[1]甘志國(guó)，田玉杰.V型函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只可能在端點(diǎn)取到[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017 （09）： 30-33

[2]郭朋貴.例析分離函數(shù)法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017 （12）： 39-40

[3]王衛(wèi)勤.不拘一格，化整為零——從分離變量到分離函數(shù)[J].新高考（高三數(shù)學(xué)），2014 （10）： 39-40