立體幾何試題中關鍵點坐標的確定方法初探

宋正道

在立體幾何中引入空間向量后，實現了幾何問題代數化，由為主考查抽象的空間想象能力轉化為為主考查具體的運算能力，從而使立體幾何的解題難點轉化成求關鍵點的坐標，本文擬以2018年高考數學全國I卷第18題第（Ⅱ）問關鍵點坐標的確定為例，探討立體幾何問題中關鍵點坐標的確定方法，

例（2018年高考全國卷I.理18）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把ADF1折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.

（I）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（Ⅱ）求DP與平面ABFD所成角的正弦值，

該立體幾何題第（I）問的求解思路是線⊥線線⊥面 面⊥面，在此不再贅述，下面主要就第（Ⅱ）問中關鍵點P坐標的求解方法解析如下：

如圖2，以E為坐標原點建系，不妨取正方形ABCD的邊長為4，則A，B，C，D，E，F各點坐標均可寫出，故該立體幾何問題的關鍵點是點P的坐標，若能求出點P的坐標，則剩余問題均為計算，再無思維難度，而由面PEF上面ABFD知關鍵點P在底面的投影點一定在EF上，如圖3，做PH⊥ EF，垂足為H.