基于“數學運算”核心素養的培養，探索橢圓標準方程的推導

殷延恒

從以往的教學實踐來看，每當學生學到“圓錐曲線”這一章時，都會遇到很大的困難——數學運算，在平時的學習和考試中經常是列幾個代數式之后，就無從下手了，不能夠進行有效的數學運算，更談不上真正解決問題，因此要求學生用解析幾何的基本思想（用代數的方法解決幾何問題）解決問題也就成了一句口號，如何幫助學生解決這個困難和提升學生的數學運算素養，是這幾年在教學實踐中不斷探索和思考的課題.

通過調查和筆者的教學實踐可以發現，學生對運算感覺困難的原因主要有兩個方面：

其一是高中教師對運算的認識加劇了學生實施運算的困難，在高中的數學教學中，教師一般不會把代數式的運算納入到自己的數學教學目標中，更多的是關注如何幫助學生理解數學原理，學會分析問題，理清解題思路，而對問題解決過程中所需的運算推理指導不夠，因為高中內容多，理解難度大，教師在課堂上需要花費相當多的時間去解決這些困難，客觀上造成了課堂上很難再擠出時間對運算給予詳細的指導，更談不上在課堂上留出時間展示學生的運算過程.

其二是學生對運算的不重視致使運算水平難以提高，在初中，學生在課堂上有較多機會學習并練習運算;而在高中，教師在課堂上講解運算的機會較少，由于學生覺得運算練習枯燥且乏味，沒有較強思維的挑戰性，往往不重視課下的運算訓練，缺少必要的運算操作，從而對復雜的運算缺乏信心和耐心，致使學生對稍顯復雜的運算畏難情緒嚴重.

針對以上問題，為了落實學生“數學運算”核心素養的培養目標，我們要精心設計自己的教學過程，比如在《橢圓的標準方程》新授課，當我們講到對

問題1 對①式的化簡，同學們有自己的想法嗎？

在各個小組經過一段時間的思考、討論、交流后，每個小組選派一個代表到黑板上展示，

生1：對等式兩邊直接平方整理得：

寫到此處，生1就算不下去了.

師：難道直接平方不行嗎？觀察等式兩邊的結構，你能發現有什么特征嗎？

經歷了再觀察、思考、交流后，

師：生2觀察得很細致，能夠發現等式的左邊有“平方差的結構”，對于根號，平方后即可去掉，然后使用平方差公式和完全平方公式把等式展開后，就可以消項及合并同類項，為了使化簡后的方程變得更加簡潔，我們引入b2= a2-C2，最終得到中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓標準方程：

因此在教學過程中，教師要多點耐心，給學生留出充分的時間進行觀察、思考、討論、交流，以學生為主體，教師為主導開展教學，教師的“導”要把握好時機，不能過早，也不能太晚，該出手時就出手，但又不能包辦代替，而是適時提出啟發性的問題來撬動學生的思維，使其能夠繼續運算下去，同時要求學生能講清自己選擇運算的理由，根據運算目標，靈活運用公式法則，形成運算策略，一定要提醒學生記住形成運算能力的核心是盯住運算目標，根據問題特點選擇運算途徑，逐步形成合理、簡潔的運算意識與習慣，這是提升學生“數學運算”核心素養的關鍵.

師：你是怎么想到要移項后再平方的呢？

生3：經過仔細觀察可以發現等式以的左邊兩個根號下面的表達式有對稱性，因此想到移項后再平方可以消掉很多項.

師：生3說得很好，因此我們在進行運算時，一定要多觀察運算對象的結構特點，只有這樣才能夠準確運用運算法則來解決問題，雖然生1和生3的運算策略不一樣，但是兩個運算過程中都是反復使用兩個公式（x+y）（x-y）=x2-y2和（x±y）2=x2±2xy+y2.

通過師生、生生的互動與交流，使學生經歷運算的過程，發現運算的本質，深刻理解運算法則，使他們認識到運算失敗的根源是未能有效利用運算法則對代數式進行化簡，從而克服對稍顯復雜的運算的畏難情緒，同時，還要使學生認識到運算不僅對數學學習很重要，而且對于個人的性格和品質的形成也有重要影響.

正如章建躍先生所說：數學學科核心素養是通過數學學習而逐步形成的具有數學特征的關鍵能力、必備品格與價值觀念，一個平時總是難以集中精神準確、快速、簡潔完成運算的人，在做其他事情中，一般也不可能做到認真、嚴謹，不可能以平靜的心態面對任務，而圓錐曲線內容的學習是鑄就其品質和提升其“數學運算”核心素養的重要載體.

生4：我有個想法和生1與生3都不一樣.

選擇③或④中的一個進行平方、化簡，即可得橢圓的標準方程.

師：你是怎么想到這種方法的呢？

生4：我記得在學習數列時解過這樣一道數列題：已知數列{an}滿足an=√n+1-√n（n∈N+），證明：數列{an）是遞減數列，為了證明這個數列是遞減數列，我們只需要用作差（商）的方法比較的大小即可，對數列{an}的通項公式分子有理化得，顯然有.我受到這個題目的啟發想到了此法，

問題2 這三種方法誰優誰劣，它們所反映的數學本質一樣嗎？請分小組討論、交流.

師：學生5總結得很好，看似三種不同的運算過程，其實所反映的數學本質是一樣的，歸根溯源就是一個運算法則——分配律，同學們只有在平時的學習中經常思考，不斷總結，發現數學本質，才不會畏懼復雜的代數運算，同學們打開課本可以發現，教材中的方法是移項平方，而不是其他兩種方法，為什么教材中比較青睞“移項平方”這種方法呢？

問題3 通過以上過程，我們發現焦點在x軸上、中心在坐標原點的橢圓上每一點的坐標都滿足方程

作為教師，要把對數學運算的指導滲透在高中數學教學的全過程，因為從認知的規律來講，數學核心素養的形成不是短時間內集中強化訓練就能實現的，當然，一定數量和強度的訓練是必不可少的，更需要操作者在實踐中去感受、體驗、思考、調整、檢驗、再調整，顯然這需要一個較長的時期，因此只有堅持適時滲透指導，才能有效提高學生的“數學運算”核心素養，

參考文獻

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[3]沈保兵，將核心素養的培養植根于課堂教學的每個環節——“兩條直線的平行”教學實踐與思考[J].中小學數學，2016 （11）：20-22