一道題的錯解的教學(xué)實錄與思考

潘穎藝

以下是在基本不等式新授課后一堂習(xí)題課給出的一道題.

1 題目

2 教學(xué)實錄

師：以上解法1的過程中，采用“1”的代換形式，構(gòu)造出基本不等式的結(jié)構(gòu)式再進行求解，

所以，生乙解答過程中，兩次運用基本不等式時，出現(xiàn)等號成立條件前后不一致，此時√2不是所求最小值了，生丙只運用一次基本不等式，滿足等號成立的條件，

師：因此，以后大家在運用基本不等式求最值時，一定要非常重視它成立條件，即：一正、二定、三相等，缺一不可.

3 教學(xué)思考

3.1 尋找解題過程的來龍去脈，深入理解所學(xué)知識的合理性

那么，本題是怎樣想到利用“1”的代換求解最小值呢？學(xué)生自己又怎能自然而然地想到用這種方法解題呢？解法1的思路像從一頂帽子里抓出一只兔子的戲法一樣令人感到意外，教師如何有啟發(fā)性地提出這樣一個問題的解題思路呢？

基于此，在課堂教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想起一個以前曾經(jīng)求解過的與當(dāng)前題目緊密相關(guān)的題目，給出以下一個例題：若tana=2，求sin2 a+2sina·cosa-3 cos2 a的值？

當(dāng)時，本題其中有一種解法思路，就是利用1= sin2 a+cos2a，將所求式子轉(zhuǎn)化為齊次分式后，切化弦求解的，那么，這個解題思路對本題解法1的啟發(fā)是什么呢？

3.2 多角度聯(lián)想，尋求問題解決的通性通法

常言道：條條道路通羅馬，以上錯解告訴我們：在謹(jǐn)記基本不等式成立的三個條件下，可以充分發(fā)揮基本不等式的作用解題，還可嘗試用代入消元的方法，即：

從以上得到的式子a（2-a），也可以用二次函數(shù)配方法求最值，除此之外，后續(xù)導(dǎo)數(shù)知識學(xué)完后，本題也可考慮用求導(dǎo)方法求解，那么，在這些解法中，哪種才是解決這一類問題的通性通法呢？

從基本不等式應(yīng)用來看，應(yīng)用它求最值，條件苛刻，需要“正數(shù)、定值、相等”三個條件缺一不可;從求最值角度看，構(gòu)造關(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)性質(zhì)求解，能解決基本不等式不能解決的問題，學(xué)生較容易理解，是通性通法，而應(yīng)用基本不等式求最值達(dá)到錦上添花的效果.

3.3 錯題：走過，路過，不要“錯過”！

為什么學(xué)生乙會出現(xiàn)解題上錯誤呢？學(xué)生乙只是依葫蘆畫瓢，解題過程欠思考，造成了聽懂≠會做，錯解的出現(xiàn)，給了學(xué)生檢驗自身的邏輯漏洞或知識缺陷的有利時機，也讓教師能夠引導(dǎo)學(xué)生對知識的理解，可以從陳述性知識向程序性知識深化，提高學(xué)生對知識的元認(rèn)識能力;再者，錯題的反思，學(xué)生可以多角度去思考同一個題目，達(dá)到知其然、知其所以然、知何由以知其所以然的效果，因此，錯題的出現(xiàn)，必然要做到“工欲善其事，必先利其器”，錯題作為學(xué)習(xí)的一種很好資源，不要“錯過”，利用好它，對高二文科生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說是非常有幫助的.