核心素養(yǎng)觀下幾何定理教學(xué)的目標(biāo)定位與策略選擇

陳曉曦

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)在各學(xué)科具體化為學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵基礎(chǔ)是發(fā)展學(xué)生的核心數(shù)學(xué)能力，依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出的十個(gè)“核心概念”，本文以《多邊形的內(nèi)角和與外角和（2）》一課為例，旨在分析在初中幾何定理教學(xué)中，如何以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為契機(jī)，談?wù)剮缀谓虒W(xué)中落實(shí)做好教學(xué)目標(biāo)定位與教學(xué)策略的選擇.

1 從課標(biāo)定位確定教學(xué)目標(biāo)

多邊形在現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在，它是初中數(shù)學(xué)中空間與圖形的重要內(nèi)容之一，本節(jié)課是在前面學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)（外）角和、認(rèn)識(shí)了多邊形（內(nèi)角、外角、對(duì)角線等）并且了解正多邊形的基礎(chǔ)上探索多邊形的內(nèi)角和與外角和，本節(jié)課是三角形內(nèi)角和知識(shí)的延伸與拓展，同時(shí)也為后面探究平行四邊形、多邊形鑲嵌、正多邊形與圓關(guān)系等內(nèi)容提供了方法和條件，因此，本課的學(xué)習(xí)有著重要的意義，在平面幾何的學(xué)習(xí)中，起著承前啟后的作用.

1.1 知識(shí)層面

本節(jié)課是在前面學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和與特殊四邊形內(nèi)角和等知識(shí)的基礎(chǔ)上引入的，它屬于“空間與圖形”領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識(shí)”部分中的重要內(nèi)容之一，而且對(duì)今后研究特殊多邊形起著鋪墊作用，在探究過(guò)程中其所涉及的類(lèi)比、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)所必備的思想方法，因此，本課在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位和作用，而且為今后繼續(xù)研究空間幾何等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)研究多邊形內(nèi)角和同時(shí)也對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀提供很大的幫助，另外考慮到探索過(guò)程需要充足的時(shí)間和空間，把多邊形的基本概念內(nèi)容安排在第一課時(shí)完成，本節(jié)則側(cè)重于多邊形的內(nèi)角和與外角和的探索過(guò)程和初步應(yīng)用.

1.2 能力層面

學(xué)生在小學(xué)階段與前面學(xué)習(xí)平面幾何過(guò)程中，已初步掌握通過(guò)一定操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（剪拼、畫(huà)圖、度量等）以及初步掌握了一定的推理猜想驗(yàn)證方法，已初步積累了一定的數(shù)學(xué)歸納與推理能力，本節(jié)將通過(guò)探索多邊形的內(nèi)（外）角和公式，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察（計(jì)算）一猜想一驗(yàn)證一應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，組織學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、觀察現(xiàn)象，提出猜想、推理論證等，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及發(fā)展學(xué)生合情推理與探究實(shí)踐等.

1.3 思想層面

本節(jié)關(guān)于多邊形的內(nèi)（外）角和的探索過(guò)程中所涉及的從特殊到一般、轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論、合情推理等數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)所必備的基本思想，此外本課中還滲透美育，凸顯數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)與人相處，感受探索與創(chuàng)造的樂(lè)趣，體驗(yàn)獲得成功的喜悅，并通過(guò)合情推理和演繹推理的有機(jī)結(jié)合逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等能力，

因此，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，筆者在設(shè)計(jì)《多邊形的內(nèi)角和與外角和（2）》的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，確定了以下3個(gè)方面的教學(xué)目標(biāo)：

1.3.1 知識(shí)技能

理解并掌握多邊形內(nèi)（外）角和公式的推導(dǎo)方法，并學(xué)會(huì)應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1.3.2 數(shù)學(xué)能力

①通過(guò)類(lèi)比、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性，培養(yǎng)推理能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，并會(huì)利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，

②通過(guò)把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運(yùn)用，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法.

1.3.3 數(shù)學(xué)思想

在探究多邊形的內(nèi)角和、外角和公式過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)通過(guò)合理推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，并會(huì)用演繹推理加以證明，在多種形式的小組活動(dòng)中，著重培養(yǎng)學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)討論、合情推理等數(shù)學(xué)思想的作用，以及體會(huì)一定的數(shù)學(xué)思維方式.

2 從學(xué)習(xí)實(shí)際選擇教學(xué)策略

根據(jù)“教學(xué)手段必需為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)服務(wù)，并起到積極輔助教學(xué)的作用”，本節(jié)課依托多媒體，借用幾何畫(huà)板，F(xiàn)lash動(dòng)畫(huà)、投影儀等多種信息技術(shù)手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)有效性，在教學(xué)實(shí)際中主要選取以下教學(xué)策略：

2.1 蘇格拉底的“產(chǎn)婆法”

即不是直截了當(dāng)?shù)匕阎R(shí)告訴學(xué)生，而是通過(guò)循循善誘，揭露認(rèn)識(shí)中的矛盾，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，尋求問(wèn)題的答案，老師著眼于引導(dǎo)、學(xué)生著眼于探索，整個(gè)過(guò)程側(cè)重于學(xué)生能力的提高，同時(shí)考慮學(xué)生的個(gè)體差異，實(shí)施分層遞進(jìn)式教學(xué)法.

2.2 預(yù)設(shè)教學(xué)法

即教師對(duì)學(xué)生可能產(chǎn)生的多種情況，準(zhǔn)備好各種預(yù)設(shè)，并在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)與學(xué)生交流或?yàn)閷W(xué)生的不足作補(bǔ)充，從而提高課堂教學(xué)有效性.

2.3 采用荷蘭數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾的“再創(chuàng)造”法

即學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，自主參與知識(shí)的構(gòu)建，由本人把所要學(xué)的東西再“創(chuàng)造”出來(lái)，而教師僅立足于引導(dǎo)學(xué)生觀察與實(shí)驗(yàn)、朕想與類(lèi)比、歸納與演繹.

3 從教學(xué)策略角度選擇處理教學(xué)內(nèi)容

3.1 溫故知新

問(wèn)題1 三角形的內(nèi)角和是多少？這與形狀大小有關(guān)嗎？你是用什么方法得到結(jié)論的？

問(wèn)題2 平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和分別是多少？那么任意四邊形的內(nèi)角和呢？

問(wèn)題3 你能猜想并驗(yàn)證任意四邊形的內(nèi)角和嗎？ （度量法與剪拼法等驗(yàn)證）

問(wèn)題4 你還能用“剪拼法”繼續(xù)探索五邊形、六邊形……的內(nèi)角和嗎？

（學(xué)生可能會(huì)回答：能或不能，請(qǐng)回答“能”的同學(xué)上臺(tái)利用投影儀演示剪拼過(guò)程，同時(shí)師生會(huì)共同發(fā)現(xiàn)隨著邊數(shù)的增加，剪拼難度越來(lái)越大.）

3.2 探索發(fā)現(xiàn)

師生合作共同按以下步驟討論和交流：探究求四邊形內(nèi)角和的方法，

預(yù)設(shè)如下

預(yù)設(shè)1 “度量法”直接用量角器測(cè)量出各角的度數(shù)，并計(jì)算四邊形內(nèi)角和為360°;

預(yù)設(shè)2 “奠基法”（用列表法和圖形相結(jié)合）得到五邊形內(nèi)角和為360°;

預(yù)設(shè)3 過(guò)任一頂點(diǎn)把四邊形分成2個(gè)三角形，得到四邊形內(nèi)角和：180°x2= 360°（如圖3）;

預(yù)設(shè)4 過(guò)內(nèi)部任一點(diǎn)，把四邊形分成4個(gè)三角形，得到四邊形的內(nèi)角和為：180°×4-360°=360°（如圖4）;

預(yù)設(shè)5 過(guò)邊上任一點(diǎn)，把四邊形分成3個(gè)三角形，得到四邊形的內(nèi)角和為：180°×3-180°=360°（如圖5）;

預(yù)設(shè)6 過(guò)外部任一點(diǎn)，把四邊形分成3個(gè)三角形，得到四邊形的內(nèi)角和為：180°×3-180°=360°（如圖6）.……

3.3 總結(jié)歸納

（1）通過(guò)對(duì)四邊形內(nèi)角和的探究，學(xué)生已具有探索多邊形內(nèi)角和的激情和能力，這時(shí)進(jìn)一步引導(dǎo)可選擇以上其中一種方法繼續(xù)探究五邊形、六邊形……n邊形的內(nèi)角和（比如選用預(yù)設(shè)3，見(jiàn)圖7），并猜想、歸納、驗(yàn)證得”邊形的內(nèi)角和為（n-2）x180°.

（2）這里筆者準(zhǔn)備了4個(gè)預(yù)設(shè)和學(xué)生進(jìn)行交流或?yàn)閷W(xué)生的不足進(jìn)行補(bǔ)充：

預(yù)設(shè)1 任取n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，n邊形被過(guò)這點(diǎn)的對(duì)角線分割成（n-2）個(gè)三角形，并求得n邊形的內(nèi)角和為：（n-2）x180°（如圖8）;

預(yù)設(shè)2 在n邊形的內(nèi)部任取一點(diǎn)，該點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線構(gòu)成n個(gè)三角形，并求得n邊形內(nèi)角和為：nx180°- 360°=（n-2）x180°（如圖9）;

預(yù)設(shè)3 在n邊形的邊上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線構(gòu)成（n-1）個(gè)三角形，并求得n邊形內(nèi)角和為：（n-1） x180°-180°=（n-2） x180°（如圖10）;

預(yù)設(shè)4 在n邊形外部任取一點(diǎn)，該點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線構(gòu)成n個(gè)三角形，并求得n邊形內(nèi)角和為：（n-l）x180°-180° =（n-2）x180°（如圖11）.

3.4 引導(dǎo)發(fā)展

（1）求圖12中x的值.

（2）十邊形的內(nèi)角和是___________度;

（3）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是____;

（4）在四邊形ABCD中，∠A =90°，且∠B：∠C：∠D= 4：3：2.試求∠D的度數(shù)？

（5）拓展延伸：

（a）如圖13，清晨，小明沿著一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷罚▓D中虛線），按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?，試?wèn)：①請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出小明從小路AB轉(zhuǎn)向BC時(shí)身體的轉(zhuǎn)角;②當(dāng)他跑完一圈時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？③如果廣場(chǎng)是六邊形或七邊形，結(jié)論是否一樣？為什么？

（b）適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用類(lèi)似求三角形外角和的推理方法（如圖14）探索驗(yàn)證：五邊形的外角和：180°×5 -（5-2）x180°= 360°（如圖15）;n邊形的外角和：180°×n-（n-2）x180°=360°（如圖16）.

3.5 成效評(píng)價(jià)

（1）A層（供全體同學(xué)完成）

①一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，試求這個(gè)多邊形的邊數(shù)？

②多邊形的邊數(shù)每增加一條時(shí)，內(nèi)角和的變化情況？外角和呢？

A.增加90° B.增加180°

C.增加360°

D.不變

③正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)是36°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是____;

（2）B層（供學(xué)有余力的同學(xué)繼續(xù)完成）

小亮同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°…這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，整個(gè)過(guò)程一共向右轉(zhuǎn)了____次，一共走了_____m.

3.6 小結(jié)升華

3.7 課后反饋

（1）A層作業(yè)（供全體同學(xué)完成）

①七邊形的內(nèi)角和是____;外角和是____;

②如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，那么它的內(nèi)角和為（ ）

A. 1800°B. 1620°C. 1440°D. 1260°

③一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°，求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)？

（2）B層作業(yè)（供學(xué)有余力的同學(xué)自主選擇完成）

①探索在一個(gè)多邊形中，最多能有幾個(gè)內(nèi)角是銳角？最多能有幾個(gè)外角是鈍角？

②如圖18所示，三角形紙片∠A= 60°，∠B= 80°，將紙片一角折疊，使點(diǎn)C落在三角形ABC內(nèi)部，且∠1= 20°，求∠2的度數(shù)？

4 教學(xué)思考

在幾何定理的教學(xué)中，如何能夠讓學(xué)生更好地理解并加以應(yīng)用，這是我們數(shù)學(xué)教師都應(yīng)不斷思索探究的問(wèn)題，而針對(duì)幾何定理的教學(xué)策略與方法的選擇固然非常重要，教師應(yīng)該依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與學(xué)情選取一些更為合適的教學(xué)策略與方法，并且要以靈活的課堂模式促進(jìn)學(xué)生對(duì)于定理的理解與認(rèn)知，這樣才能夠真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)于幾何定理有更好的理解與吸收，并且讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握更加透徹，方能有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀及推理能核心素養(yǎng)能力的全面提升.