2018年高考數學全國Ⅲ卷理科題20(Ⅱ)的推廣

何佳佩 凌源 劉成龍

1 試題及筒評

（I）略;

（Ⅱ）設F為C的右焦點，P為C上一點，且FP+ FA+ FB=0.證明：FA，FP，FB成等差數列，并求該數列的公差，

筒評題20以橢圓中點弦為背景、以三角形重心為載體，著重考查學生的運算能力和推理能力，題20有如下亮點：

（1）形式簡潔，學生能輕松理解題意;

（2）內涵豐富，考查了中點弦、重心的向量表達式、等差數列、向量運算等高中主干知識;

（3）解答視角寬，學生能從不同的角度對20題進行解答，既能開拓學生的視野，同時為求異思維的形成提供了良好的素材;

（4）具有可推廣性，能從不同的情境進行推廣，對完善學生認知有積極意義;

（5）具有教學導向性， （Ⅱ）問運用焦半徑公式可以優化運算，而焦半徑公式暗含在教材中習題部分，這有引導教學回歸教材、開發“二手結論”之意，

綜上，可以認為該試題是研究高考數學試題的好素材.

2 （Ⅱ）的推廣

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真.[1]張景中院士指出：“推廣是數學研究中極其重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣，數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題，”[2]2018年高考數學全國Ⅲ卷理科題20（Ⅱ）（下文簡稱題20（Ⅱ））可以從多角度推廣，比如：數字一般化、背景遷移化、問題寬泛化，

視角1 一般化——將橢圓標準方程一般化

視角2 遷移化——將橢圓變成雙曲線、拋物線

推廣2、3的證明同推廣1，過程略，

視角3 廣泛化——將中點坐標更一般化、問題更寬泛

參考文獻

[1]鄭隆聽.數學推廣的類型與思想方法[J].武漢教育學院學報，1999，18 （3）：5-10

[2]朱華偉，張景中.論推廣[J].數學通報，2005 （4）： 55-57