對2017年全國卷一道高考試題的探究

陳言

2017年高考全國理科卷I第16題內涵豐富，是教學的好素材，可通過一題多解、一題多變，挖掘試題中所隱藏的某些規律，提煉數學思想方法，提高教學實效.

1 試題再現

（2017年高考全國I卷·理16）如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓0上的點，？DBC，？ECA，？FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起？DBC，？ECA，？FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐，當？ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為____.

本題以幾何知識為背景，通過折疊將平面圖形轉化為空間圖形，然后研究三棱錐體積的最大值，試題將知識、方法、思想融為一體，突出研究性、探索性和實踐性，綜合性較強、難度較大，意在考查考生空間想象能力、數學建模能力、運算求解能力、分析問題和解決問題能力;考查考生在處理有關折疊和最值問題上的思想方法，

折疊問題是立體幾何中的一類典型問題，而最值問題又是歷年高考的高頻考點問題，折疊與最值問題是命制試題的極佳素材，將兩者綜合起來考查使得試題內涵豐富，思想鮮明，考生解決此類問題的思維過程應該是（1）分析題設條件，弄清楚平面圖形是如何折疊成空間圖形的，并根據條件作出正確的圖形;（2）分清折疊前后兩圖形中元素間的位置關系和數量關系，哪些發生了變化，哪些沒有變化，即對于折疊前后線線、線面的位置關系，所成角及距離加以比較，觀察并判斷變化情況;（3）數學建模、代數計算、邏輯論證、求得結果.

2 解法探究

筆者注意到多數以“高考試題匯編”為名的書籍中，這道試題的解答幾乎都是通過構造三棱錐體積函數模型，利用求導數的方法予以解決，其實同樣屬于“通性通法”，本題還可以利用基本不等式解答：

3 變式探究

思考1翻閱近五年的全國卷可以發現，與球有關的問題是高考的熱點問題，以理科試卷為例，涉及對球的查考的試題有：2018年全國卷Ⅲ第10題、2017年全國卷Ⅲ第8題、2016年全國卷I第6題、2016年全國卷Ⅲ第10題、2015年全國卷I第11題、2015年全國卷Ⅱ第9題、2014年全國大綱卷第8題，球是特殊的空間幾何體，把涉及球與柱體的切接、球與錐體的切接、球與球相切、球與幾何體各條棱相切、球與旋轉體切接的這些問題命制成試題，能夠有效考查考生的數學能力和數學思想方法，因此筆者借鑒2016年全國新課標Ⅲ卷的第10題，嘗試對本題進行改編，探索按題中要求折疊后，當三棱錐的內切球體積最大時，所得三棱錐體積的大小，

探究如圖2，連接OD交BC與點G，

經過以上探究，可以編制試題如下：

試題變式1如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F為圓O上的點，？DBC，？ECA，FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐，隨著ABC邊長的變化，當三棱錐的內切球半徑最大時，三棱錐體積為____.

思考2在原題中，命題者在紙片上放一個等邊三角形（三角形的中心與圓心重合），由解答過程可知當圓心到等邊三角形各邊的距離為2時，所得三棱錐體積最大，如果把題中等邊三角形改成正方形，且正方形的中心與圓心重合，保留其它相應條件，然后按題中方法再進行一次折疊，那么圓心到正方形各邊的距離是多少時所得四棱錐的體積最大？

探究如圖4，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，E，F，M，Ⅳ為圓O上的點，EAB，FBC，MCD，NDA分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，連接OF交BC于點G，

由題意知OF上BC，

設OG =x，則FG=5-x，

沿虛線剪開折疊成四棱錐后，

故當x=2時四棱錐的體積最大，

于是原試題可以進行如下第二次改編：

試題變式2如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E，F，M，N為圓O上的點EAB，FBC，MCD，NDA分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起EAB，FBC，MCD.NDA，使得E，F，M，Ⅳ重合，得到四棱錐，隨著正方形ABCD邊長的變化，當四棱錐體積取得最大值時，圓心O到正方形各邊的距離為____.

思考3我們發現圓形紙片上不論是等邊三角形還是正方形，只要按照題中所給方法將圖形折疊后，若所得錐體的體積最大，則圓心O到錐體底面各邊距離都等于2，這就引發一個思考，如果僅將原題中的等邊三角形改成正多邊形，再模仿原題的折疊方式折疊成一個正棱錐，當正棱錐的體積最大時，圓心O到底面正多邊形各邊的距離是否還是27若把圓形紙片的半徑改為r，再實施相同的操作，當正棱錐體積最大時，圓心O到正多邊形各邊的距離為一，

探究圓形紙片的圓心為O，半徑為r，該紙片上的正多邊形A1A2A3…An的中心為O，B1，B2，B3，…，Bn為圓上的點，這些點與正多邊形的各邊構成分別以B1，B1，B3，…，Bn為頂點的等腰三角形（如圖5），現按原題方式折疊成正n棱錐，連接OB1交A1A2于點M，由題意知OBl上A1 A2，設OM =x，

試題變式3如圖5，圓形紙片的圓心為O，半徑為r，該紙片上的正多邊形A1A2A3…An中心為O.B1，B2，B3，…，Bn為圓上的點，B1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1分別是以A1A2，A2A3，…，AnA1為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以A1A2，A2A3，…，AnA1為折痕折起B1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1，使得B1，B2，B3，…，Bn重合，得到一個正n棱錐，隨著正多邊形A1A2A3…An邊長的變化，當正n棱錐的體積最大時，圓心O到正多邊形各邊的距離為____.

4 教學建議

從2016年起教育部考試中心經過“調布局、克難點”、修訂“考試大綱”，將“立德樹人、服務選拔、導向教學”作為高考的核心立場與基本功能，由此設計和制定了能夠充分體現這一核心立場的“一體四層四翼”高考評價體系，并全面對接基于核心素養培養的普通高中課程標準和高考綜合改革，在高考試卷上強化對核心知識、關鍵能力的考查，強化學科核心素養的滲透，強化應用意識，突出創新能力，試題不斷推陳出新，作為一線教師應認真研究課程標準、考試大綱和近年來的高考試題，充分利用高考試題的典型性、導向性組織課堂教學，從知識、規律、思想、方法等方面引導學生分析研究高考試題，通過一題多解、一題多變，不斷創設新穎的問題情境，構造一個個有一定深度和廣度的數學問題，圍繞必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值，從認知水平和能力水平等各層面上精準解決學生學習過程中的疑點和難點，有效培養學生的核心素養.

5 結束語

高考試題是教師教學以及學生學習的經典素材，教師在日常教學工作中，應加強對高考試題的研究與思考，探索試題背后的內在本質，借鑒試題命制的手法，對試題進行變式和拓展延伸，積極嘗試設計一些新試題，這樣做一是能夠準確評價學生在數學學習中的發展狀況、實際水平，二是能夠根據學生實際情況，因材施教，最終達到提高課堂教學實效、提升學生數學核心素養的目的.