一道填空題的探究之旅

閔駿祥

也許是對數學情有獨鐘，自從我進高中以來，我從未放棄過遇到的任何一道難題．通法解不了的，多觀察，用特殊的方法解．代數方法解不了的，就用圖象來輔助求解．多做嘗試，多轉換思路，多變動審題視角．哪怕實在解不出，我也會將其記錄下來，在日后的學習過程中將其攻克．好的數學思維絕不是短時間形成的，只有通過長期的思考和積累才能鍛煉出來．如果不是天才，那么我們只有思考得比別人多，花的時間比別人長，才可能擁有比別人好的數學成績．

下面我就通過學習過程中遇到的一道難題，在探究解決的過程中發現了一個特別的方法，與同學們分享交流一下．

題目已知函數f（x）=|ax-1|（a＞1）的圖象為曲線C，O為坐標原點，若P為曲線C上的任意一點（點P不與原點O重合），曲線C上存在點Q使得OP⊥OQ，則實數a的取值集合是______．

一、解題歷程

分析一將y=ax（a＞1）的圖象向下平移1個單位長度得到y=ax-1的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對稱翻折到上方得到f（x）的圖象，取點Q，點P，使OP⊥OQ，如圖1．由垂直得到兩直線的斜率乘積等于-1，用點的坐標表示出斜率．

探索一

先討論下點P，Q關于y軸的位置：

①點P，Q在y軸的同側：

則kOP與kOQ同號，乘積取不到負1，所以不成立．

②點P，Q在y軸的異側：

不妨先設點P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜0＜x2），得到．

圖1

由于x≠0，所以無法確認函數的單調性．

圖2

于是我便去尋求幫助，先是借助了網絡，看了下網上的解題過程，發現網上直接由①g（x）在｛x|x≠0｝上單調遞減，②g（x1）=，得出a=e，我并不理解也不認可這一步過程．用幾何畫板畫出的圖象后發現，對于任意g（x1）（x1＜0）都有一個g（x2）（x2＞0）與之互為倒數，但僅憑這個函數圖象并不能幫助我解決最初的難題．

看來我必須要回過頭來，再好好想一想．

疑問：網上的答案a=e是正確解嗎？如果正確，為什么會具有唯一性？這道題這么復雜，是不是可以簡化呢？是不是有什么條件我沒有利用到，沒有看透呢？

分析二絕對值的存在使得函數的性質及其圖象變得相當復雜，這一點很不利于我的分析思考，那如果將絕對值去掉可不可行呢？這樣做又會有什么效果呢？雖然這種嘗試有些盲目，但是化繁為簡的數學思想是起到了一定的引領作用的．我似乎抓住了什么，有了一點新的思路．趕緊試一試！

探索二之前的探索并非無功而返，P，Q一定是在y軸兩側取點，即P，Q在原點O的兩側．

不妨令P（x1，y1）在原點左側，Q（x2，y2）在原點右側，即x1＜0＜x2，由OP⊥OQ，得．

我們想一下，對于脫去了絕對值的函數y=ax-1而言，P的位置發生了變化，不妨記之為P′，即將P（x1，y1）變為P′（x1，-y1），如圖3，此時kOP′·kOQ=1，因為我們假設了P在原點左側，如果P在右側，則Q的位置相應地變化為Q′（x2，-y2），最后類似得到kOP·kOQ′=1．

既然跟斜率、跟原點都有關系，我又試著在原點處作切線l1，記l1的斜率為k，k=f′（0）=lna．此時我腦海中靈光一現，聯想到a=e，使我想到了lne=1．瞬間接上了，斜率乘積等于1．

此刻我的內心無比激動，很顯然，之前的努力并沒有白費．由斜率想到切線，打通了我的思路．

我們先簡化下原題：

【等價題】已知函數y=ax-1（a＞1）的圖象為曲線C，O為坐標原點，若P為曲線C上的任意一點（點P不與原點O重合），曲線C上存在點Q使得kOP·kOQ=1，則實數a的取值集合是________．

圖3

我們根據兩點P，Q的相對位置分兩種情況思考：

（1）點P在原點左側，點Q在原點右側，連結OP，OQ，如圖4．

此時kOP與kOQ的乘積為1，過原點的切線斜率為lna，仔細觀察發現kOP＜lna，kOQ＞lna．

i）當a＞e時，lna＞1，kOP＜lna，而kOQ＞lna＞1，

不妨取點P0使kOP0∈（1，lna），則若存在Q0，必有，與kOQ0＞1矛盾．

圖4

如：當lna=4時，取kOP0=2，與kOQ恒大于1矛盾，所以不成立．

ii）當a=e時，lna=1，kOP∈（0，1），kOQ∈（1，+∞），符合題意．

iii）當1＜a＜e時，0＜lna＜1，kOP＜lna＜1，則故在其取值范圍（lna，+∞）內，符合題意．

所以當a≤e時，對于任意點P，都有一個與之對應的點Q使得kOPkOQ=1．

（2）點P在原點右側，點Q在原點左側，連結OP，OQ，如圖5．

圖5

此時kOP與kOQ的乘積為1，進行觀察后發現kOP＞lna，kOQ＜lna．

i）當a＞e時，lna＞1，kOP＞lna＞1，kOQ=，故在其取值范圍（0，lna）內，符合題意．ii）當a=e時，lna=1，kOP∈（1，+∞），kOQ∈（0，1）符合題意．

iii）當a＜e時，1＞lna＞0，kOP∈（lna，+∞），kOQ＜lna＜1，

取點P0使kOP0∈（lna，1），則若存在Q0使得，與kOQ0＜1矛盾．

所以當a≥e時，對于任意一點P都有一個與之對應的點Q使得kOPkOQ=1．

根據（1）（2）可得當且僅當a=e時，對于任意一點P（點P不與原點O重合），曲線C上存在點Q使得kOPkOQ=1．

終于探究完了，看著上面的詳細分析與解答，很難想象，這是由我自己獨立完成的．我很自豪，也很開心．

二、推廣拓展

看著這題目，我是越看越喜歡，就想著是否可以推廣，我相信，我找到的這個方法具有一定的普適性．

推廣一：改變a的范圍．

當0＜a＜1時，先去絕對值，在原點處作該函數圖象的切線得到k=f′（0）=-1，如圖6，從而得到．

圖6

推廣二：從指數函數推廣到對數函數．

若將題目中的f（x）改為f（x）=|logax|（a＞1），先去絕對值，再作x=1處的切線得到k=f′（1）=1，如圖7，從而得到a=e．

推廣三：從已知函數推廣到含冪函數y=xa的函數f（x）=|xa-b|（x＞0），

（1）a＞1，

圖7

圖8

（2）0＜a＜1，

（3）a＜0，

圖9

如f（x）=|x-1-1|，a=-1．

對于此類帶絕對值的函數，以轉折點為直角頂點，另外兩點分別在兩段曲線上的題目，都可以先去絕對值，再用作切線的方法處理．在解決這個問題的過程中，思考時的緊張，探索時的專注，解決問題后的成就感和推廣之后的滿足感，無一不使數學學習充滿樂趣．