合理選擇參數，簡化運算
——以圓錐曲線問題為例

余建國

圓錐曲線因運動而精彩紛呈．在定性證明和求最值類問題中，選取什么參變量表示運動，通過代數運算得到定值或建立目標函數呢？這里不僅是計算問題，更是算法的優化問題．本文和同學們探討如何選取參數，簡化運算．請看下面問題：

例如圖1，已知橢圓，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y=-2上的一個動點（與y軸交點除外），直線PC交橢圓于另一點M．

圖1

（1）記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．

先解決問題（1）．

分析一根據“點P是直線l上的一個動點”，可以設P坐標為（m，-2），這樣用m表示直線BM，BP的斜率，計算k1·k2為定值，即k1·k2的值與參數m無關．

證明一P坐標為（m，-2），則直線BP的斜率．

分析二事實上，我們也可以將問題表述為“M是橢圓上的一個動點（與B，C不重合），直線CM與l交于點P”．這樣我們可以設點M（x0，y0），將它作為參數．

證明二設 點M（x0，y0），則，即．

分析三既然我們認為“主動點”為M，當然就可以選擇直線BM的斜率為參數．

證明三直 線BM的 方 程 為y=k1x+1．

于是，直線PM，即MC的斜率為kMC=方程為

在直線PM的方程中令y=-2，得P（4k1，-2），于是直線PB的斜率k2=．

顯然，我們也可以用直線PM，即PC的斜率kPC為參變量，一方面求點P的坐標，另一方面求點M的坐標，證明過程類似．

歸納總結在圓錐曲線定性證明中，不同的視角決定我們選取不同的參變量，通過代數運算，計算k1·k2的值，最終這個值中參變量被消去了，我們就實現了“定”的目的．比較而言，還是設點M的坐標的方法運算量較小，這里省去了聯立直線與橢圓方程解交點的計算．同學們在平時的解題中是否有這種感覺呢？

解法一由（1）知，=（-m，3），，

令m2+4=t＞4，故．

解法二設點M（x0，y0）（x0≠0），

令t=y0+1，t∈（0，2），則以下略．

以斜率為參變量的方法留給同學們自己去解決．

解析幾何的思想就是用代數的方法研究幾何問題．如何表示平面上點或線的運動變化？點的變化用坐標描述，線的變化用斜率（旋轉）或截距（平移）表示．在復雜的運動過程中，我們往往從“主動”開始，依次描述“從動”，就能將運動變化的過程表達清楚，定性證明、求最值類問題迎刃而解．正如我們只有抓住舞動彩練的棒子，彩練才能隨心而動，舞出絢麗的色彩！