老師，我怎么學會思考
——平面向量篇

王思儉

鈴聲響起，考試結束，教室里頓時沸騰起來，七嘴八舌，議論紛紛：

這道平面幾何與向量數量積結合的題目我又沒有做出來；

那道類似于2018年某省市的高考題，我足足做了15分鐘，結果還是以失敗告終；

這道題我一開始就是利用基底求解，但無法表示所要研究的兩個向量，后來又建立直角坐標系，寫點的坐標時又陷入困境，最終選擇放棄；

……

對這類問題，我們應該怎樣思考呢？鑒于此，我組織幾位同學結合此次測驗，圍繞“如何思考平面向量問題”展開討論與交流，旨在幫助同學們學會思考問題，當遇到困難時，學會尋找突破的策略．

生甲：如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，E是BC邊上的一點，則·的取值范圍為________．

這道題我整整花了20分鐘也沒有攻克下來，關鍵是怎樣學會思考呢？

圖1

生乙：如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 （ ）

圖2

教師：由已知條件，你們可以先求出哪些幾何量？生甲先講你的解題思路，在何處受阻．

生甲：發現△ACB與△ACD為全等三角形，從而推出∠CAB=∠CAD=60°，計算出．雖然設，所以|a|=|b|=1，，但與怎么才能用所設的基底向量表示呢？又換思路，改設顯然有a·b=0，還是無法進行下去，該怎么思考呢？

教師：就前一個思路而言，是否可以用a與b表示呢？如果可以，那么就可以用表示，這樣與都可以表示出來了．于是我們要考慮幾何特征，要對進行平移，利用向量加法的幾何意義，充分利用平面幾何性質．

生丙：用平面幾何方法可以做的，運算量蠻大的．如圖3，作AF∥BC且AF=BC，所以四邊形ABCF是矩形，延長CF交AD的延長線于點G，所以AF⊥CG．因為∠GAF=30°，∠CAF=∠ACB=30°，所以∠CAG=60°．又因為∠AGF=60°，所以△ACG為等邊三角形，所以F是CG中點，所以GF=CF=AB，且GF∥AB，所以四邊形ABFG為平行四邊形，所以，所以設2b）（0≤λ≤1），所以（λ+1）a+2λb，=（λ+1）a+（2λ-1）b．所 以=［（λ+1）a+2λb］·［（λ+1）a+（2λ-1）b］=3λ2-，當λ=1時，有最大值3；當時有最小值，所以的取值范圍是．

圖3

眾生：這種幾何法要作這么多條輔助線，根本想不出來啊！

教師：生丙的思路清晰，結果正確！他的平面幾何的知識很扎實！求解向量問題，一要考慮基底向量，二要考慮坐標表示．

生丁：一開始也是利用基底向量做，沒搞出來，再換思路——建立直角坐標系求解．由對稱性可知，B，D關于AC對稱，設AC與BD相交于點O，AC=2，，OC=，現以O為原點，DB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立如圖4所示的直角坐標系，所以，，BC方程為：．

圖4

生乙：也可以以C點為原點，以AC所在直線為y軸，建立直角坐標系，如圖5，所以，．設，下同生丁．

圖5

生戊：以A為原點，AC所在直線為y軸，建立直角坐標系，如圖6，所以A（0，0），，lBC：+2，設，，下同前文．

圖6

教師：坐標法是很簡單，三位同學都是抓住對稱性，很快就寫出了相關點的坐標，將幾何問題轉化為代數問題，最終也是轉化為二次函數在指定閉區間上求解．

生甲：以D為原點，以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立如圖7所示的直角坐標系，所以D（0，0），A（1，0），，lBC：y=，設，0≤，下略．

圖7

教師：很好！生甲利用垂直建立直角坐標系，也很快求解了，但比較而言，還是利用對稱性較快．請看變題1：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點E和點F分別是BC邊和DC邊上的點，求的取值范圍．

圖8

生丁：如圖8，建立平面直角坐標系．因為所以EF∥BD，所以E，F關于y軸對稱，設，所以又因為，所以，），因 此，，所以當時取最小值；當x=0時取最大值4，所以的取值范圍為．

教師：正確！抓住EF∥BD，使得問題更加清晰，因此解題要先思考如何轉化題目中的各種信息，如何挖掘隱含信息，這是解題的關鍵．請看變題2：

在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點E和點F分別是BC邊和DC邊上的點，（0≤λ≤1），求的取值范圍．

圖9

生丙：如圖9，建立平面直角坐標系，則因 為，所以所以，，所以λ+1，0≤λ≤1．所以當時，取最大值；當λ=0或1時，取最小值1，所以的取值范圍為．

教師：很好！變題2相對復雜一點，生丙先利用線性運算，再利用坐標運算，求出的坐標表示．如果將E，F點放在同一條邊上，又可以有變題3：

平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，點M和點N都在邊BC上，且，求的取值范圍．

生甲：如圖10，建立平面直角坐標系，設，，因此，再由已知條件得4（x1-．所以=4x1x2-（x1+x2）+4，接下去該怎么辦呢？

圖10

生乙：這里，同時由，化簡為，再代入化簡得，當x2=0時取得最大值為，當時取得最小值為1．

教師：答案正確，但過程上存在問題，你們發現嗎？

生丙：不成立，而定義域為，由于二次函數圖象的對稱軸為關于直線對稱，因此得出同樣的結論．

教師：分析正確！一定要注意消元后的自變量的取值范圍，也就是x1的范圍交給x2控制了，所以x2的取值范圍為．

生戊：將投影到水平方向和豎直方向，利用點M的坐標表示點N的坐標，設M（x，y），M在邊BC上，且MN=，所 以，求 出于 是．所以當時取最大值；當時，取 最 小值1．所以的取值范圍為．

教師：很好！他的解法就是減少自變量，其實也就是向量的正交分解．

生己：原題的基底向量法中，不需要做這么多的輔助線，抓住而a+b，因此，所以．（下略）

教師：太棒了！生己的向量加法的幾何意義非常熟練，他抓住AC與AO的長度關系，挖掘題目的隱含條件，這樣就大大減少了運算量．因此，在求解平面幾何中的向量問題時，如果遇到困難，要注意思考以下問題：

1．題目所提供的信息都轉化成數學符號語言了嗎？這些信息之間的聯系“橋梁”是什么？

2．哪些線段是我們要研究的？題目中的主要線段的位置關系如何？幾何量之間有什么隱含關系？

3．我們利用什么策略求解？怎樣選擇基底向量？要研究的向量又如何線性表示呢？我們研究的平面圖形是正三角形、直角三角形、矩形、正方形、菱形、箏形等，就要考慮能否建立坐標系解決呢．

4．本題還有其他解法嗎？哪種方法最好？哪種方法是通性通法？

5．本題能否推廣？能否改編呢？等等．

實戰演練

1．如圖11，在△ABC中，C=90°，且AC=BC=3，點M滿足，則=_________．

圖11

2．如圖12，在等腰直角三角形ABO中，OA=OB=1，C為AB上靠近點A的四等分點，過點C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，則=______．

圖12

3．如圖13，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，22，則的值是_________．

圖13

答案與解析

1．解析 法一 如圖14，建立平面直角坐標系．由題意知：A（3，0），B（0，3），設M（x，y），由，得解得

圖14