算兩次，顯奇效

徐子茗

在高中一年的數學學習中，我印象最深刻的當屬向量了，作為一種溝通代數、幾何和三角函數的利器，向量在處理很多問題時有著無與倫比的優越性．如三角形重心問題，我們知道三角形中三條中線交于一點稱為重心，并且重心分中線形成的線段長度之比為2∶1，如何證明這一結論，用傳統的方法證明大費周章，而用向量法則簡單明了．

如圖，E，F分別為邊AC，AB的中點，G為△ABC的重心．

圖1

而后的學習中，我們又多次與“算兩次”不期而遇：

例1如圖，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且求．

圖2

例2兩角差的余弦公式的推導證明．

設a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），向量a，b的夾角為θ，則cosθ=cos（α-β）．

一方面a·b=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ，

另一方面a·b=|a|·|b|cosθ=cos（α-β），

于是有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

例3數列中的子數列問題．

已知等差數列｛an｝的通項公式為an=2n-1，ak1，ak2，ak3，…，akn構成等比數列，其中k1=1，k2=2，求數列｛kn｝的通項公式．

一方面，在等差數列中，akn=2kn-1，

另一方面，在等比數列中，akn=3n-1，

通過上面的例子，想必同學們對“算兩次”有了更深入的理解：對同一個數學問題，從兩個不同的角度，運用兩種不同的方式計算兩次，借助“殊途同歸”的等量關系，達到出奇制勝的效果．簡單的說，我理解的“算兩次”就是“一方面，另一方面，綜合可得”．其實，我們對“算兩次”思想并不陌生，早在小學時我們就自覺使用過，如做算術題時要保證正確率我們需要再算一次，但如果只是循規蹈矩完全重復算一遍是很難發現錯誤的，所以要盡可能采取不同的路徑（如減法用加法檢驗，除法用乘法檢驗等）；又如初中計算如圖3所示的正方形面積時，一方面看整體，面積為（a+b）2；另一方面，化整為零，四個矩形的面積和為a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，于是得到平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是不是很直觀？

圖3