立體幾何中如何探尋線線平行

劉永瑞

線面平行可以通過線面平行的判定定理，或線面平行是立體幾何的重要問題．證明者是面面平行的性質來證明，其中主要還是要依靠線面平行的判定定理，即通過線線平行證明線面平行，因此尋找線線平行是解決問題的關鍵所在．

常見的線線平行主要從平面幾何的相關定理、線面平行的性質定理和線面垂直的性質定理等途徑得到，下面我們舉例來說明．

例1如圖1，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點，若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD．

圖1

分析1本題條件中有M，N分別是AB，PC的中點，線段中點讓我們聯想到三角形的中位線，中位線平行于底邊，我們可以利用這一點構作輔助線．

證明1如圖2，取PD的中點K，連結NK，AK，則NK是△PCD的中位線，所以NK∥CD，且又因為底面ABCD是平行四邊形且M是邊AB的中點．所以AM∥CD，且，所以AM∥NK且AM=NK，則四邊形AMNK為平行四邊形，所以MN∥AK．又因為MN?平面PAD，AK?平面PAD，所以MN∥平面PAD．

圖2

分析2我們還可以反過來思考，既然要證明MN∥平面PAD，那么如果過MN作一個平面與平面PAD有一條交線，則MN自然應該與這條交線平行，我們可以用這種方法來探尋與MN平行的直線．

證明2如圖3，連結CM并延長與DA的延長線交于點K，連結PK．因為CB∥AK，M是AB的中點，所以M也是CK的中點．又N是PC的中點，則MN是△PCK的中位線，所以MN∥PK．又因為MN?平面PAD，PK?平面PAD，所以MN∥平面PAD．

圖3

總結1．在這個例子中，無論證法1，還是證法2，都充分利用中點聯想到平面幾何中的中位線、平行四邊形，因此利用平面幾何的相關定理和結論能幫助我們尋找到線線平行；平面幾何中涉及線線平行的其他結論，比如由對應線段成比例推得兩直線平行，平面內垂直于同一直線兩直線平行等等也常常會用到．

2．事實上，證法1與證法2的另一個共同點就在于都是過MN作了一個平面，使該平面與平面PAD相交，那么證明MN與這條交線平行就是我們要找的線線平行．

例2 如圖4，平行四邊形EFGH的頂點分別在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，求證：BD∥平面EFGH．

圖4

分析本題中主要條件就是平行四邊形EFGH，它提供了線線平行，但并不能直接用于證明BD∥平面EFGH，而線線平行可以先轉為線面平行，再用線面平行的性質定理，轉化為線線平行，通過這種路徑也能得到我們需要的線線平行．具體證明如下：

證明因為四邊形EFGH是平行四邊形，

所以EH∥GF．

又因為EH?平面BCD，FG?平面BCD，

所以EH∥平面BCD．

又因為EH?平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，

所以EH∥BD．

又因為BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH．

總結通過線面平行的性質定理，從線面平行中獲得線線平行，是一條尋找線線平行的重要方法．同樣的道理，我們還可以將面面平行的條件通過面面平行的性質定理直接轉化為我們需要的線線平行．

例3如圖5，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥平面BB1D1．

圖5

分析題中主要信息：①以正方體為載體；②EF分別與兩條異面直線A1D，AC垂直，要證明線面平行，也就是要求我們從垂直的信息中挖掘出平行關系，這使我們聯想到線面垂直的性質定理，即垂直于同一平面的兩直線平行．證明如下：

證明如圖6，連結AB1，B1C，BD．

圖6

因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

所以DD1⊥AC．

又因為AC⊥BD，BD∩DD1=D，

所以AC⊥平面BDD1B1．

又因為BD1?平面BDD1B1，

所以BD1⊥AC．

同理可證，BD1⊥B1C．

所以BD1⊥平面AB1C．

因為EF⊥A1D，A1D∥B1C，

所以EF⊥B1C．

又因為EF⊥AC，B1C∩AC=C，

所以EF⊥平面AB1C，

所以EF∥BD1．

又因為EF?平面BB1D1，BD1?平面BB1D1，

所以EF∥平面BB1D1．

總結本題解答過程就是著重于證明兩個線面垂直，再結合線面垂直的性質定理，得到我們所需要的平行關系，可見這也是得到線線平行的一條路徑．