理解復數(shù)定義，求解軌跡問題

林光勇

如何利用復數(shù)幾何意義求有關點的軌跡等問題呢？首先要理解復數(shù)的定義z=a+bi，理解i2=-1，然后理解復平面，知道復數(shù)z=有序實數(shù)對點Z（a，b）的關系．這為討論復數(shù)建立了數(shù)學模型，也為用數(shù)形結合求解有關復數(shù)問題提供了依據(jù)；最后，要理解復數(shù)模的意義，因為復數(shù)的幾何圖形基本都是由模聯(lián)系起來的．

一、一一對應要厘清

例1在復平面內，復數(shù)6+5i，-2+3i對應的點分別為A，B．若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是________．

解析利用復數(shù)與復平面上的點間的一一對應關系，可知點A（6，5），B（-2，3），于是可以設AB中點C（x，y），在平面直角坐標系中由中點坐標公式得，即C（2，4），所以點C對應的復數(shù)為2+4i．

解題感悟看到復平面要想到初中已學習過的平面直角坐標系，理解復數(shù)與復平面上的點是一一對應的關系．具體怎么對應法？復數(shù)z=a+bi在復平面內的對應點坐標為（a，b），要注意，比如復數(shù)2-3i對應的復平面內的點的坐標為（2，-3），而不是（2，3）．先將復數(shù)對應到平面上的點，利用解析幾何有關知識求解，然后再將求得的點坐標返回對應到復數(shù)．

二、軌跡問題實數(shù)化

例2復數(shù)滿足|z-1︱2-︱z+i︱2=4，求復數(shù)z在復平面內對應點所表示的曲線．

解析設z=x+yi（x，y∈R），則︱x-1+yi︱2-︱x+（y+1）i︱2=4．

所以復數(shù)z在復平面內對應點所表示的軌跡為直線x+y+2=0．

解題感悟首先要將復數(shù)問題實數(shù)化，設z=x+yi（x，y∈R）代入化簡是最扎實可靠的方法；其次，“取模”是把復數(shù)問題實數(shù)化的一種重要手段．

例3滿足|z|2-2|z|-3=0的復數(shù)z的對應點的軌跡是________．

解析按常理設z=x+yi（x，y∈R）代入化簡，效果不理想．

回頭再看看，復數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0，若是把|z|看成一個整體，那么這便是一個關于|z|的一元二次方程．

分解因式得（|z|-3）（|z|+1）=0，解得|z|=3或|z|=-1（舍）．

它表示以原點為中心，半徑為3的圓．

解題感悟復數(shù)問題的實數(shù)化是解決復數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復數(shù)相等的充要條件和復數(shù)的模的運算及性質．

三、數(shù)形結合是工具

例4已知z∈C，且︱z-（4-5i）︱=1，求︱z+i︱的最大值和最小值．

解通過觀察發(fā)現(xiàn)：其實︱z-（4-5i）︱=1表示Z對應的點表示的曲線是以Z0（4，-5）為圓心，1為半徑的圓，︱z+i︱表示Z與Z1（0，-1）兩點的距離．

圖1

解題感悟本例解法采用了數(shù)形結合的思想方法，直觀簡單，但要特別注意︱z+i︱的意義，容易被誤認為是Z與Z1（0，1）兩點的距離．此類問題一般類型是：設復數(shù)Z滿足︱z-z0︱=r，求d=︱z-z′︱的最值．連結過Z0，Z′兩點的直線交圓︱z-z0︱=r于兩點，兩點的距離即為所求的d，其中dmax=︱z0-z′︱+r，dmin=︱z0-z′︱-r．

四、向量問題聯(lián)系緊

例5如圖2所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3+2i，-2+4i，試求：

（3）求B點對應的復數(shù)．

圖2

解題感悟復數(shù)加減法的幾何意義即為向量的合成與分解；應用其解決與復數(shù)有關的軌跡問題來幫助討論代數(shù)問題，也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合這一重要的思想方法．本題中要注意恰當運用向量的方法，即用共起點表示．

五、解析幾何顯神威

例6已知z∈C，且︱z+4︱+︱z-4︱=10，求z的軌跡．

圖3

突破點|z-z1|+|z-z2|=2a（a＞0且2a＞|z1-z2|）表示以Z1，Z2為焦點，2a為長軸長的橢圓方程．

解設復數(shù)z對應的復平面上的點為Z，由于︱z+4︱可看作點Z到定點Z1（-4，0）的距離，而︱z-4︱可看作點Z到Z2（4，0）的距離，故︱z+4︱+︱z-4︱=10表示點Z到兩定點間的距離之和為定值10，由解析幾何知識得知，z的軌跡是橢圓．

不妨設z=x+yi，因為2a=10，2c=8，由a2+b2=c2，所以b=3，因此橢圓方程為．

本題若用解析幾何方法，則必須設z=x+yi，原 式 轉 化 為，將左邊任一項移項到右邊，通過兩次兩邊平方化簡，轉化為1，從而得到橢圓方程．顯然這種方法太繁瑣，且這就是學習解析幾何時化簡橢圓的步驟．將復數(shù)問題與已學習的知識聯(lián)系起來，轉化為已學習的內容，從而將未知轉化為已知，化繁為簡．

本題需要特別注意當2a=|z1-z2|時，是線段，2a＜|z1-z2|時，為空集．所以解題時一定要注意條件的變化．

解題感悟

1．解決復平面上軌跡問題與平面解析幾何中的求軌跡問題實質上運用的是相同的方法．

2.復數(shù)的幾何意義架起了復數(shù)與解析幾何之間的橋梁，復數(shù)問題可以用幾何方法解決，幾何問題也可以用復數(shù)方法解決．如：若復數(shù)z的對應點在直線x=1上，則z=1+bi（b∈R）；若復數(shù)z的對應點在直線y=x上，則z=a+ai（a∈R），這在利用復數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡化作用．

3.運用復數(shù)的幾何定義求軌跡，需要理解復數(shù)的幾何意義，特別是模的意義，要數(shù)形結合，學會和相關的圖形意義聯(lián)系起來，如圓、橢圓、雙曲線等．

4.軌跡問題的易錯點為軌跡所求的圖形有時會不符合題意，要根據(jù)條件的要求進行取舍．

如：設動點Z，定點Z1，Z2分別對應于復數(shù)z，z1，z2，a＞0，那么雙曲線可以表示為：|z-z1|-|z-z2|=±2a（2a＜|z1-z2|），其中z1，z2為對應雙曲線的焦點，2a為實軸長（當2a=|z1-z2|時，表示兩條射線，即線段Z1Z2的延長線及其反向延長線；當2a＞|z1-z2|時，不表示任何圖形）．