探秘牛頓植樹問題

王 娜

“每行植三株，九株栽十行；種法有多樣，請你試試看．”據說這是牛頓曾經提出并思考過的“九樹十行”問題．

同學們，動動手，相信你也能給出答案：作一個對稱的圖形，三橫一豎、六根斜線（如圖1所示），輕松解決了這個“九樹十行”的植樹難題．

圖1

按實際生活經驗，每行3棵，要栽10行，不是需要30棵樹嗎？現在只有9棵，那有些樹肯定應栽在幾行的交點上．我們為何會想到畫出這樣的對稱圖形？是否有據可依？

我先給同學們普及一下帕普斯定理．

帕普斯定理可以敘述成下面的形式：

如圖2，設六邊形ABCDEF的頂點交替分布在兩條直線a和b上，那么它的三雙“對邊”所在直線的交點X，Y，Z在一直線上．

圖2

問題初看有點復雜，為了讓同學們充分理解定理，我們把問題具體劃分為幾個步驟進行，同學們可以自己嘗試畫出這張圖形．

三點A，E，C在直線a上，三點D，B，F在直線b上．順次連結線段AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到一條封閉折線ABCDEF，此封閉折線也就是一般意義下的多邊形．看六邊形的名稱ABCDEF，就能知道它的哪兩條邊是對邊．例如，在六邊形名稱ABCDEF中，字母B和C相鄰，說明BC是它的一條邊，那么EF就是BC的對邊．利用“六邊形”和“對邊”這兩個簡單術語，就能概括圖2中9個點和9條直線之間的復雜關系．

（注：帕普斯定理的證明可參考《新概念幾何》（張景中，2002））

可以看到，圖2中有9個點，9條線，每個點上有3條線通過，每條線上又有3個點，由此可直接得到“九樹九行”．為了解答現實版的“九樹十行”問題，需要在上面“九樹九行”的基礎上，增加一條新的直線，成為第十條．

圖3

應該怎樣安排，才能出現第十條直線呢？

我們回顧文章開頭所述問題及圖1，顯然，運用特殊化的數學思想，讓圖形具備對稱性以后，就完美地出現了第10條直線BE（如圖3所示）．

繼續開動腦筋，如何在一般圖形中得到第10條線呢？

如圖4所示，可采用下面的辦法：

圖4

任意作兩條直線a和b；

在a上任意取三點A，C，E；

在b上任意取兩點B，D；

連結直線AB，BC，CD，DE，AD，記AB與DE的交點為X，BC與AD的交點為Y；

連結直線EY，交直線b于點F；

連結直線FA，交CD于點Z，那么根據帕普斯定理，三點X，Y，Z在一直線上．

這就是解答“九樹十行”問題的一般方法．由于兩直線a和b的相關位置可以任意變化，六邊形頂點在a和b上的排列順序和距離也可大幅度調節，所以能畫出千變萬化的解答圖形．同學們可以自己嘗試操作一下．