探源正多邊形尺規作圖問題

徐惠杰

如何精確地作出正多邊形呢？這是一個古老的幾何問題．早在古希臘時代，人們就知道可以用不帶刻度的直尺和圓規（尺規作圖）作出幾種正多邊形．大家知道復雜的尺規作圖都是由一些基本作圖構成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規作圖的方法．

圖1

正方形該如何尺規作圖呢？如圖1所示，畫圓O，作半徑OA，以A為圓心，OA為半徑畫圓，交于B，C兩點，連結OA與BC交于點D，以D為圓心，OD為半徑畫圓交BC于E，F兩點，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易．

從上面的過程我們發現正方形的尺規作圖還是比較容易的，但有關正五邊形的尺規作圖人們經歷了一段探索過程．下面我們介紹正五邊形的一種尺規作圖方法：

（1）設O是待作的正五邊形的中心，P1是一個頂點，以O為圓心、OP1為半徑作圓，它就是正五邊形的外接圓，作直徑AB垂直OP1；

（2）以OB的中點M為圓心，MP1為半徑作圓，交OA于C點；

（3）以P1為圓心，CP1為半徑作圓，交外接圓于點P2，P5，它們就是正五邊形的另兩個頂點；

（4）以P2為圓心作同半徑的圓，交外接圓于另一點P3，再以P3為圓心作同半徑的圓，交外接圓于另一點P4，順次連結P1P2P3P4P5，即得正五邊形．

圖2

歷史上，用尺規作圖作正偶數邊形如2n，3×2n，5×2n等正多邊形并非難事，但對正奇數邊形如7，9，11，13，15等的作圖，在當時是件困難的事，而且并非都可以作圖成功．

直到1796年，當時還是年僅19歲的大學二年級的高斯證明了正十七邊形是可以用直尺和圓規作出的，這一發現震驚了當時的數學界，后來高斯給出了進一步的結論：正奇數邊形的邊數只有是費馬素數或不同的費馬素數乘積才可以尺規作圖（費馬素數是指形如F（n）=22n+1的素數，其中n為非負整數）．

根據這個結論，對于我們早已掌握具體作圖的正三邊形、正五邊形，現在還知道了它們為什么能用尺規作圖，就因為3和5都是費馬素數（3=F（0），5=F（1））；對于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，乃至于正十一邊形、正十三邊形，現在我們能有把握地說，它們不可能通過尺規作圖作出，因為7，11，13都不是費馬素數．

下面來點難度高的，對于正n邊形，n=257，65537時，即使我們不知道具體如何作圖，從理論上我們已經知道它們是可尺規作圖的！

正多邊形是美妙的圖形，正多邊形的尺規作圖蘊含了豐富的數學知識，同學們不妨多多發揮自己的聰明才智，在幾何圖形的“精彩世界”里盡情遨游！