從歐拉買郵票問題說開去

耿曉華

偉大的數學家歐拉是不是集郵愛好者，或許已經無法考證，但歐拉買郵票問題卻流傳了下來．傳說歐拉在郵局買了一些郵票，其中2分錢一張的郵票數量是1分錢一張的郵票數量的分錢一張的郵票數量又是2分錢一張的郵票數量的還買了8分錢一張的郵票5張，他只用一張鈔票（這里假設有8種面額：1元、2元、5元、10元、50元、100元、1000元、10000元，且100分=1元）付款，并且沒有找回零錢（數學家的做事風格嘛，哈哈），試問歐拉每種郵票各買了多少張？

顯然，我們可以借用方程思想解決這個問題．假設y為歐拉買的1分錢一張的郵票數量，則2分錢與5分錢一張的郵票的數量分別為．這說明y一定是16的正整數倍，我們不妨設y=16x，這樣所有郵票的總價為（16x+2×12x+5×9x+40）分，恰好是一張鈔票的面值k元．令16x+2×12x+5×9x+40=100k，其中x為正整數，k是1，2，5，10，50，100，1000，10000中的某個數．化簡這個方程得到17x=20k-8．要解決這個問題，最終就歸結為如何 求 二元一 次 方 程17x=20k-8的 正 整 數 解，其 中k∈｛1，2，5，10，50，100，1000，10000｝．

下面，我們給出如下幾種方案．

方案1：對于方程17x=20k-8，直接驗證k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000，求得的x為正整數即可．驗證得到k只可能是1000．容易解得1分的郵票是18816張，2分的郵票14112張，5分的郵票10584張．這種方案運算量大，相對比較麻煩．

方案2：對于方程17x=20k-8，我們用方程一邊的“整”描述另外一邊的“整”，再枚舉即可．例如則是整數，再將k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的，這樣x也可以求得．以下同方案1．

方案3：對于方程17x=20k-8，我們可以用方程一邊的“因子”描述另外一邊的“因子”，再枚舉即可．注意到右邊是4的倍數，方程可寫為17x=4（5k-2），所以x也一定是4的倍數．可設x=4m，則17×4m=4（5k-2），約分得到17m=5k-2，再將k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的．以下同方案1．

丟番圖的“墓志銘”，出自《希臘詩文集》

實際上，這個問題中k的取值是有限的，可以借助于枚舉的方法得到，相對比較容易．如果我們可以把條件放寬一點，即k只要是正整數即可，那這個問題就遠比原問題復雜多了，即求17x=20k-8所有的正整數解或者給出正整數解的結構．像這樣形如ax+by=c（a，b，c∈Z，ab≠0）的方程，我們稱為最簡單的二元一次不定方程．不定方程歷史悠久，早在1700多年前，古希臘的數學家丟番圖就對不定方程做過深入的研究，所以不定方程又被稱為丟番圖方程．

我們先來分析一下最簡單的二元一次不定方程的解的結構：

設方程ax+by=c，其中a，b，c為整數，且ab≠0．

若a，b的最大正公因數記為（a，b），當且僅當c是（a，b）的倍數時，該方程才有整數解，其所有的整數解為（t為整數），其中（x0，y0）是某個具體的解，我們也稱之為特解．

回到歐拉買郵票問題，考慮上述方程即20k-17x=8的正整數解，容易觀察x是4的倍數，所以通過簡單的枚舉得到k=14，x=16就是原方程的一組解，所以根據前面的結論就可以得到該方程所有的整數解為為整數）．再進一步，求原方程的正整數解還需要滿足k＞0，且x＞0，所以只要參數t為自然數即可．因此，20k-17x=8的所有的正整數解為為自然數），這還表明這個方程組有無窮多組正整數解．

不定方程問題是非常有趣的代數問題，有一些不定方程有一些程序化的解決方案，對這一類不定方程的研究已經成熟，例如前面的二元一次不定方程．但更多的不定方程因為結構的多樣性，方法也是多樣的，沒有程序化的解決方案，甚至難度還特別大，例如著名的費馬大定理就是一個不定方程的解的問題：xn+yn=zn，當n為大于2的正整數時，該方程無正整數解．很明顯，當n=2時，任意一組勾股數就是解，但n＞2時，就特別困難．費馬提出的這個猜想，直到上世紀末才由美國數學家安德魯·懷爾斯給出了證明，使得猜想成為定理，經歷了350多年．懷爾斯因此獲得了1998年國際數學屆的最高獎之一的菲爾茲特別獎．值得一提的是，在這350多年里，還有很多的數學家鍥而不舍地研究這個問題，雖然他們沒有最終解決問題，但是在研究的過程中發現了新的問題，提出了新的猜想，創造了新的方法，有力地推動了數學的發展．

數學的發展是波瀾壯闊的，代數中的不定方程就是其中的浪花一朵．