初中數學分類討論思想在解題中的應用探討

陶明偉

摘 要：分類討論是在初中階段數學解題教學中廣泛運用的教學策略。旨在根據不同的題型，采取恰到好處的最優解法，提升學生的解題技巧。針對分類討論思想在初中數學教學中的應用，本文結合實例以及理論研究成果展開探討。

關鍵詞：初中數學 分類討論 解題 教學策略

一、初中數學分類討論思想的原則

分類討論思想在初中數學解題的運用過程中，教師和學生應當遵循兩個標準原則。

首先是同一性與相稱性原則。這一原則要求分類標準保持一致，比如三角形的分類，按邊分類，可分為：等腰三角形（有且只有有兩條邊相等）、等邊三角形（三條邊都相等）；不等邊三角形（三條邊都不相等）；按角分類則可分為：銳角三角形（三個內角都是銳角）；直角三角形（有一個內角為直角）、鈍角三角形（有一個內角為鈍角）；這樣的分類符合同一性原則。倘若有人將三角形分為：等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，則違反了同一性原則。是分類思想的錯誤運用。相稱性原則則是要求分類后子項的并集應當與母項外延相稱。[1]

另一原則是互斥性與多層次性原則。互斥性原則意思是，經過分類，各個子項之間應該互相獨立，不存在交集，如三角形按角劃分時，“沒有一個三角形既是鈍角三角形也是銳角三角形”。多層次性原則是指，在初中數學解題中，會遇到一些分類比較復雜的條件。此時，教師和學生可以使用“二分法”，把需要討論的對象進行逐層分類，分成具有層次性的互相獨立互相矛盾的概念，從而避免邏輯性的錯誤。[2]

二、初中數學如何應用分類討論思想

1.分類討論思想在代數的運用

代數問題占了初中數學問題的半壁江山，討論的是數學問題中的數量關系。在解決代數問題過程中應用分類討論思想，可以避免考慮問題的不全面導致的解題錯誤。以下例子分兩種場景探討分類討論思想在初中數學中的運用。

例1（含絕對值的方程問題）：|5-x|+|x+2|=8，求x；

當方程式中出現絕對值時，絕對值內的結果可能有三種情況：負數、正數、零，可以按照這三種情況進行分類討論。

在本例子中，絕對值|5-x|中的對象：5-x可能有三種情況：5-x<0；5-x>0；5-x=0；根據這三種情況展開，例子中的方程式等價于：即：x>5；x<5；x=5，那么：

當x>5時，方程式等價于：-5+x+x+2=8，解得x=5.5；

當x<5時，方程式等價于：5-x+x+2=8，等式不成立，無解；

當x=5時，方程式等價于：5-5+5+2=8，等式不成立，無解；

所以可以得出原方程的解為x=5.5

例2（函數問題）：已知函數y=kx-k+a為一次函數，當1≦x≦3時，-2≦y≦4，求ka的值。

根據題干，函數等價于：y=k（x-1）+a；0≦x-1≦2；k≠0

運用分類討論思想，k有兩種情形：

情形1： k>0，y隨著（x-1）的增大而單調遞增，即隨著x的增大而增大，因此：

當x-1=0，即x=1時，y=-2

當x-1=2，即x=3時，y=4

代入函數，得出：a=-2，且2k+a=4

解得：k=3，a=-2，ka=-6；

情形2：k<0，y隨著（x-1）的增大而單調遞減，即隨著x的增大而減小，因此：

當x-1=0，即x=1時，y=4

當x-1=2，即x=3時，y=-2

代入函數，得出：a=4，且2k+a=-2

解得：k=-3，a=4，ka=-12

結合兩種情形，ka=-6或ka=-12

可見，在代數問題中運用分類討論的思想，可以避免解題出現漏解、錯解的情況。

2.分類討論思想在幾何中的運用

幾何問題是初中數學問題中頻繁出現的題型。在幾何問題的解決中，也時常可以運用分類討論的思想。以下例子討論分類討論思想在幾何問題解題中的運用。

例3（等腰三角形問題）：已知等腰三角形的兩邊長分別為：a=3，b=4，求三角形的周長。

在這個例子中，題干上并沒有說明a和b哪一條是底邊，哪一條是腰，所以應用分類討論思想，可以有兩種情形：

情形1：a為底邊，b為腰

則：周長=a+2b=3+2*4=11

情形2：a為腰，b為底邊

則：周長=2a+b=2*3+4=10

所以這個問題的解為：周長等于11或10

例4（角的問題）：在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

運用分類討論思想，可分兩種情形：

情形1：射線OC在∠AOB內：畫圖可得∠MON=30°

情形2：射線OC在∠AOB外：畫圖可得∠MON=30°

總結：兩種情形下，均有 ∠MON=30°。在運用分類討論方法時，總結也很重要。

三、初中數學解題中運用分類討論思想的意義

1.提高思維嚴謹性和邏輯性

初中階段是學生成長中的一個關鍵階段，在這一階段養成良好的縝密的思維邏輯習慣，對于以后的學習、邁入社會后的工作都有重大意義。綜合以上的例子可見，分類討論思想，是一種邏輯嚴謹，有條理的解題方式。隨著中小學生數學課程的難度提升，數學這一學科對于學生的思維邏輯有了越來越高的要求。學生在初中數學學習過程中，運用分類討論思想，學習和解決遇到的各種類型的數學問題，可以在這一階段獲得成長，為將來難度更高的學習奠定良好的基礎。

2.培養良好的解題思路和習慣

很多學生數學成績不佳，關鍵還在于沒有掌握正確的學習方法論。在解題過程中，對題干不做全面的解讀，沒有層層解析題目中給出的條件和信息，以至于解題時，只抓住片面的信息，思路混亂，遺漏一些需要考慮的因素，掉進出題人的陷阱。分類討論思想這一學習方法論，是學生和教師在解題時的重要武器，有了分類的意識，掌握了這一武器的正確使用方式，許多問題便能迎刃而解，避免了不該出現的疏忽、遺漏和錯誤。

結語

分類討論的題型，是目前初中數學考試中高頻率出現的熱門題型。分類討論思想是初中階段數學問題解決時十分常用的一種數學解題思想，也是初中階段數學教學的一個難點。初中教師在教學過程中要將分類討論思想和運用分類討論思想解題的方法滲透課堂，使學生對分類討論思想形成深刻的認識，養成縝密的思維習慣。在運用分類討論思想解題時，務必注意同一性、相稱性、互斥性和多層次性原則，否則會導致分類討論思想的誤用。此外，分類討論結束后也要注意總結。

參考文獻

[1]紐曼曼.初中數學分類討論思想在解題中的應用探討[J].教育現代化，2016，3（08）：234-236.

[2]祁永前.初中數學分類討論思想在解題中的應用體會[J].考試周刊，2013（75）：53-54.