對某些強度及剛度問題計算的討論

吳 曉，劉奇元

(湖南文理學院 機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

眾所周知，材料力學的任務就是在滿足強度、剛度及穩定性的要求下，為設計既經濟又安全的構件，提供必要的理論基礎和計算方法。在工程問題中，一般構件都應有足夠的強度、剛度及穩定性，但對具體的構件，又往往有所側重。例如，儲氣罐主要是要保證強度，車床主軸主要是要具備一定的剛度，土木建筑工程中的深梁彎曲變形撓度要考慮剪切變形的影響，工字鋼、T形鋼的彎曲應力有時要考慮剪力的作用。

以上工程實際中的強度和剛度問題，材料力學已建立了計算方法。一般情況下，這些計算方法的計算精度是可靠的。但在一些特殊的情況下，材料力學建立的強度和剛度問題計算方法，還存在某些不足。另外，在教學中，學生對強度理論的適用范圍還不是很明確。針對以上材料力學教學中存在的問題，筆者在此拋磚引玉，對材料力學中某些強度及剛度問題計算方法的應用范圍進行了簡單討論。

2 銷釘連接疊層梁的彎曲計算

文獻[1]是天津大學主編的《工程力學實驗》教材，開設了圖1所示疊層梁的彎曲應力試驗，以此來測量應力分布，但沒有給出彎曲應力及銷釘剪力計算公式。當時，由材料力學可知，銷釘連接疊層梁截面平衡條件為：

N1=-N2=N

(1)

M1(x)+M2(x)+Nh=P(l-x)

(2)

圖1 銷釘連接時的疊層梁

由于銷釘連接疊層梁接觸面的縱向變形相等，則：

(3)

把式(2)在梁長(l-a)上積分，可把式(2)、式(3)分別化為：

(4)

(5)

疊層梁的各層梁彎曲時有下式成立：

(6)

式中，ρ為疊層梁上層梁的彎曲曲率半徑。

把式(6)在梁長(l-a)上積分，可得：

(7)

由式(4)、式(5)可以求得：

(8)

把式(2)化為下式：

M(x)=M1(x)+M2(x)=P(l-x)-Nh

(9)

利用式(6)、式(9)可以求得：

(10)

(11)

由式(10)、式(11)可以看出，疊層梁截面彎矩與疊層梁的各層梁截面彎矩在本質上是非線性關系。所以，圖1所示銷釘連接疊層梁任意截面上下層梁的彎曲應力最大值為：

(12)

由強度校核條件可知：

σ1≤[σ]，σ2≤[σ]

(13)

(14)

所以，文獻[2]認為，疊層梁彎曲時，上下層梁的曲率半徑近似相等，即：

(15)

3 四個強度理論計算的適用范圍

在三向拉伸應力狀態下，即使像低碳鋼這樣的塑性材料，都會發生脆性破壞。可以知道，不論是脆性或塑性材料，在三向拉伸應力狀態下，都會發生脆性斷裂，并宜于采用最大拉應力理論。

對于脆性材料，在二向或三向應力狀態下，應采用最大拉應力理論。在二向或三向應力狀態下，最大和最小主應力分別為拉應力和壓應力的情況下，則可采用莫爾強度理論。

對于像低碳鋼這一類的塑性材料，在三向拉伸應力狀態以外的各種復雜應力狀態下，材料都會發生屈服現象。所以，塑性材料一般采用形狀改變比能理論。但在有些計算中，也采用最大剪應力理論。這是因為，最大剪應力理論的物理概念較為直觀，而且按此理論所得計算結果也是偏于安全一面的。在土木工程中，應用形狀改變比能理論比較多，例如對鋼梁的計算時，一般均采用形狀改變比能理論。在機械工程中，應用最大剪應力理論較多，如承受內壓作用的鋼管進行計算時多采用最大剪應力理論。

在三向壓縮應力狀態下，不論是塑性材料還是脆性材料，通常都發生屈服破壞，故一般應采用形狀改變比能理論。

下面可估算一下形狀改變比能理論與最大拉應力理論的計算誤差。

形狀改變比能理論、最大拉應力理論的相當應力表達式分別為：

(16)

由于σ1>σ2>σ3，可知：

σ1-σ3>σ1-σ2，σ1-σ3>σ2-σ3

(17)

由式(16)、式(17)可以得到：

(18)

利用式(18)可得形狀改變比能理論與最大拉應力理論的最大計算誤差為：

(19)

4 剪切變形對梁彎曲撓度計算的影響

由文獻[5]可知，剪力、彎矩引起的梁彎曲微分方程分別為：

(20)

由式(20)可得考慮剪切變形時梁的彎曲微分方程為：

(21)

現以受向下均布載荷q作用的簡支梁為例，可求得梁中點撓度為：

(22)

(23)

能量法求得的梁中點撓度為：

(24)

彈性理論的精確解為：

(25)

比較式(23)、式(24)、式(25)可以看出，能量法給出的梁中點撓度公式的計算精度接近彈性理論的精確解。所以，考慮剪切變形對梁彎曲的影響時，宜采用材料力學教材中能量法給出的梁中點撓度公式。因為，能量法給出的梁中點撓度公式不但計算簡潔，而且計算精度也高。

對于工字形薄壁截面梁，剪力引起的撓度通常要比矩形截面梁大兩三倍，但在細長梁的撓度計算中，還是可以忽略剪力對撓度的影響。對于夾層結構梁，由于剪切引起的撓度增加，可以高達50%。

5 結 論

(1)把銷釘連接疊層梁作為靜定問題來處理，有時會導致疊層梁的銷釘剪力計算存在很大的計算誤差。若按材料力學的靜定方法計算銷釘連接疊層梁，可求得銷釘所受的剪力是本文方法計算結果的兩倍。

(2)不論是脆性或塑性材料，在三向拉伸應力狀態下，都會發生脆性斷裂，宜采用最大拉應力理論。在三向壓縮應力狀態下，不論是塑性材料還是脆性材料，通常都發生屈服破壞，故一般應采用形狀改變比能理論。第三強度理論與第四強度理論的最大計算誤差為22.49%。

(3)考慮剪切變形對梁彎曲的影響時，宜采用材料力學教材中能量法給出的梁中點撓度公式。因為，能量法給出的梁中點撓度公式不但計算簡潔，而且計算精度也高。