關(guān)于梁與剛體接觸問題的討論

吳 曉

(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

梁與剛體接觸的問題是工程實(shí)際中常見的結(jié)構(gòu)工程問題，所以研究梁彎曲時(shí)靜態(tài)接觸壓力是有實(shí)際工程意義的。文獻(xiàn)[1]研究了梁與剛體的接觸問題。文獻(xiàn)[2]指出，文獻(xiàn)[1]討論的梁與剛體的接觸問題，在接觸面的中間梁段常常沒有作用力，僅在接觸面的邊界上有集中力互相作用，考慮梁的橫向剪切變形后，可以避免發(fā)生這種奇怪的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[3]較好地解決了文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]中兩端固支梁在分布載荷作用下，梁與剛性基礎(chǔ)的接觸問題。文獻(xiàn)[4]把文獻(xiàn)[1]中梁與剛體的接觸問題作為習(xí)題引入教材，來鍛煉提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。因此，非常有必要對(duì)文獻(xiàn)[1-2]中梁與剛體的接觸問題進(jìn)行深入討論，來解釋文獻(xiàn)[2]所指出的文獻(xiàn)[1]中存在的奇怪現(xiàn)象。

2 梁與剛體的接觸問題

(1)

由式(1)可以求得：

(2)

(3)

圖1 懸臂梁與剛體接觸圖

所以，梁在集中力P作用下與圓柱剛體緊密貼合時(shí)的撓度為：

(4)

由材料力學(xué)可知，梁與圓柱剛體緊密貼合時(shí)的彎曲微分方程為：

(5)

(6)

式中，0≤x≤ξ。

高中數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)和傳統(tǒng)的教學(xué)思想和教學(xué)方法相比，在適應(yīng)學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求等方面發(fā)生了根本性變化.在教學(xué)中教師必須轉(zhuǎn)換教學(xué)思想和教學(xué)觀念，樹立學(xué)生為本的教學(xué)理念.實(shí)現(xiàn)由知識(shí)的傳授者向引導(dǎo)者轉(zhuǎn)變.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師是教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，是知識(shí)的傳授者，掌握著教學(xué)活動(dòng)的主動(dòng)權(quán)，所以教師必須轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)方式，數(shù)學(xué)文化的滲透需要教師具備豐富的數(shù)學(xué)文化知識(shí),這就要求教師要加強(qiáng)自我學(xué)習(xí)，全面地掌握與數(shù)學(xué)課程相關(guān)的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)大家的生平介紹、數(shù)學(xué)人文歷史等一系列的知識(shí)，這樣才能在教導(dǎo)學(xué)生的過程中合理滲透,才能提高學(xué)生的文化素養(yǎng).

w2=θD(l-ξ)

(7)

(8)

所以，圖1所示懸臂梁在較大集中力作用下，梁自由端的撓度為：

w(ξ)=w1(ξ)+w2+w3

(9)

(10)

式(10)與文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[4]給出的結(jié)果是一致的。把式(4)展開成以下形式：

(11)

把式(11)代入式(5)中，可得梁與圓柱剛體的接觸壓力為：

(12)

(0≤x≤η)

(13)

3 計(jì)算分析及討論

式(11)是式(4)簡化后的結(jié)果，在式(11)中若保留前兩項(xiàng)代入式(5)中，可知圖1所示梁與剛體接觸處之間梁段接觸壓力為常量。如把式(11)代入式(5)中，可知圖1所示梁與剛體接觸處之間梁段接觸壓力表達(dá)式為式(12)。

下面把式(6)、式(12)、式(13)計(jì)算出的壓力曲線畫在圖2中，以便分析討論。

圖2 懸臂梁與剛體的接觸壓力曲線

由圖2可以看出，式(13)(文獻(xiàn)[2]解)計(jì)算出的接觸壓力曲線在0～0.04(m)梁段間的接觸壓力幾乎為零，在接觸處的接觸壓力為-105250N/m，這顯然是不合理的。由圖2可以看出，式(12)計(jì)算出的接觸壓力曲線是平緩遞增的，式(6)計(jì)算出的接觸壓力曲線也是平緩遞增的，這說明懸臂梁與剛體的接觸壓力近似均布?jí)毫Γ?6)計(jì)算結(jié)果與式(12)計(jì)算結(jié)果的誤差較大，這主要是僅取式(4)簡化結(jié)果的前四項(xiàng)導(dǎo)致的。取式(4)簡化結(jié)果的高階項(xiàng)雖可提高計(jì)算精度，同時(shí)也會(huì)增大計(jì)算量。因此，計(jì)算懸臂梁與剛體的接觸壓力時(shí)，筆者建議采用本文式(6)來計(jì)算。

4 結(jié) 論

從以上分析討論可得以下結(jié)論：

(1)梁與剛體的接觸問題是一個(gè)非線性問題。

(2)本文解釋了文獻(xiàn)[2]指出的文獻(xiàn)[1]中存在的奇怪現(xiàn)象：“在接觸面的中間梁段常常沒有作用力，而僅在接觸面的邊界上有集中力互相作用。”

(3)計(jì)算梁自由端的撓度時(shí)，可以對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行線性簡化。計(jì)算梁與剛體接觸處之間梁段接觸壓力時(shí)，對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行線性簡化是不合適的。