不等長疊加鋼板的彎曲變形計算

吳 曉

(湖南文理學院 機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

疊加梁結構在機械、土木工程中得到廣泛應用，例如車輛工程中的懸架鋼板彈簧、土木工程中的鋼混凝土梁等。疊加鋼板彈簧是車輛懸架系統的重要組成部件，疊加鋼板彈簧彎曲問題可以歸結為懸臂梁的彎曲問題。文獻[1]研究了汽車鋼板彈簧主片結構的組合優化設計。文獻[2]采用“共同曲率”假設研究了疊加鋼板彈簧彎曲問題。但是利用文獻[2]方法研究疊加鋼板彈簧彎曲問題，存在3個缺陷：集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布壓力的缺陷，外載荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相等的缺陷。

文獻[3-4]認為，剪切變形可以改變集中載荷作用下疊加梁層間壓力為零的情況，采用“共同曲率”假設研究了疊加梁的彎曲問題。文獻[5-6]在文獻[3-4]的基礎上，研究了疊加梁的內力計算。文獻[7]采用彈性理論，證明集中載荷作用下疊加梁層間壓力不為零，且呈曲線分布。眾所周知，對于細長梁的彎曲問題，剪切變形的影響是可以忽略不計的，而不等長疊加鋼板彈簧都屬于細長梁，因此剪切變形對外載荷作用下疊加梁層間壓力的影響是可以忽略不計的。

基于上述原因，本文采用“共同曲率中心”方法重新研究了不等長疊加鋼板彈簧的彎曲變形計算問題。

2 不等長疊加鋼板彈簧彎曲

對于圖1所示不等長疊加鋼板彈簧，文獻[2]采用“共同曲率”假設研究不等長疊加鋼板彈簧彎曲會導致：集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零、均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布壓力、外載荷作用下疊加梁段部分上下鋼板彎曲撓度相等的缺陷。

圖1 不等長疊加鋼板彈簧

事實上，圖1所示疊加鋼板彈簧彎曲時，僅有共同的“曲率中心”，因此下式成立：

M(x)=M1(x)+M2(x)

(1)

(2)

(3)

由式(1)、式(2)和式(3)可得：

hM12-(Mh+D1+D2)M1+D1M=0

(4)

由式(4)可以求得上層鋼板截面彎矩為：

(5)

把式(5)代入式(1)中，可求得下層鋼板截面彎矩為：

(6)

上下鋼板的彎曲微分方程分別為：

(7)

(8)

(9)

把式(5)代入式(7)中，可得0≤x≤l1時彎曲微分方程為：

(10)

對式(10)積分可得0≤x≤l1時轉角方程為：

(11)

對式(11)積分可得0≤x≤l1時撓曲線表達式為：

(12)

把式(6)代入式(8)中，可得0≤x≤l2時彎曲微分方程為：

(13)

對式(13)積分得到0≤x≤l2時轉角方程為：

(14)

對式(14)積分得到0≤x≤l2時撓曲線表達式：

(15)

疊加鋼板彈簧上下鋼板的邊界條件分別為：

(16)

(17)

利用以上有關各式可以確定：

(18)

由式(2)、式(3)可以求得不等長疊加鋼板彈簧上下鋼板的應力計算公式分別為：

(19)

3 算例分析

以文獻[2]討論的某兩片鋼板組成的不等長疊加鋼板彈簧為例，上鋼板厚度h1=12mm，長度一半l1=700mm；下鋼板厚度h2=10mm，長度一半l2=500mm。上下鋼板寬度均為b=20mm,彈性模量E=200GPa，集中載荷P=200N。

把鋼板彈簧材料參數代入式(9)中，可得不等長疊加鋼板彈簧層間壓力曲線，如圖2所示( 0≤x≤l2)。

圖2 不等長疊加鋼板彈簧層間壓力

把鋼板彈簧材料參數分別代入式(12)、式(15)中，可得x=l2處，不等長疊加鋼板彈簧上下層鋼板彈簧的撓度分別為w1=-14.68mm，w2=-14.64mm。

再把鋼板彈簧材料參數分別代入式(12)中，可得x=l1處，不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.17mm。

而文獻[2]采用材料力學理論給出的x=l1處，不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧的撓度為w1=-25.49mm。

對圖2所示曲線進行分析可知，集中載荷作用下，不等長疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力曲線近似為直線，這一點與文獻[7] 吻合。在固定端絕對壓力值最大，自由端絕對壓力值最小。由于最大絕對壓力值層間壓力與最小絕對壓力值相差較小，因此在集中載荷作用下，疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力可近似為均布載荷。不等長疊加鋼板彈簧在集中載荷作用下，如果把文獻[2]采用“共同曲率”假設給出的撓曲線表達式代入式(9)中，可知疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力為零。不等長疊加鋼板彈簧在均布載荷作用下，如果把文獻[2]采用“共同曲率”假設給出的撓曲線表達式代入式(9)中，可知疊加鋼板彈簧上、下層鋼板彈簧層間壓力為均布壓力，這顯然不符合文獻[7]給出的彈性理論。

文獻[2]采用“共同曲率”假設給出的疊加鋼板彈簧上下層鋼板彎曲撓度是相同的。 而本文方法給出x=l2處不等長疊加鋼板彈簧上下層鋼板彈簧的撓度分別為w1=-14.68mm，w2=-14.64mm ，所以疊加鋼板彈簧在集中載荷作用下，上下層鋼板彎曲撓度是不相同的。造成以上缺陷的原因是，疊加鋼板的彎曲是一個非線性問題，僅存在共同“曲率中心”，文獻[2-6] 采用“共同曲率”假設研究疊加梁的彎曲問題，則是把非線性問題轉化為線性問題。這就是產生“集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布壓力的缺陷，外載荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相同的缺陷”的原因。

本文采用共同“曲率中心”方法給出x=l1處不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.17mm，文獻[2]采用“共同曲率”假設給出的x=l1處不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度為w1=-25.49mm，兩種方法計算結果相差不大，實際工程設計都可接受。

4 結 論

(1)產生“集中載荷作用下疊加鋼板層間壓力為零的缺陷，均布載荷作用下疊加鋼板層間壓力為均布壓力的缺陷，外載荷作用下上下層鋼板彎曲撓度相同的缺陷”的原因是：疊加鋼板的彎曲是一個非線性問題，僅存在共同“曲率中心”，有關文獻采用“共同曲率”假設研究疊加梁的彎曲問題，則是把非線性問題轉化為線性問題。

(2)采用共同“曲率中心”方法計算的不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度與采用“共同曲率”假設計算的不等長疊加鋼板彈簧上層鋼板彈簧自由端的撓度相差不大，實際工程設計都可接受。