試論新課程理念下數學教學要展現學生思維過程

摘 要：培養學生的思維能力是高中數學教學追求的重要目標之一。新課程的基本理念就是：“倡導積極主動，勇于探索的學習方式，注重提高學生的數學思維能力。”因此我們要注意在講解過程中體現數學的思維過程，支持學生積極思維，大力推舉到數學知識的形成過程，必須讓孩子們提高思維能力并且靈活運用所學知識去分析理解具體的問題；筆者根據自己的教學實際從以下兩個方面加以說明。

關鍵詞：新課程；數學教學；學生思維

一、 解題教學要有解題途徑的探索過程

在課堂教學中，教師可使用引導性的提問提高學生思維。下面是筆者的教學實錄：

案例1 已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點，Q為AB的中點，過Q作x軸的垂線交C于點N；證明：拋物線在點N的切線與AB平行。

師：解題的目標是什么？

生：證明切線與直線平行。

師：那么如何證明兩直線平行呢？

生：只要說明他們的斜率相等就可以。

師：直線AB的斜率為k，拋物線在N點的切線斜率如何表示呢？

生：拋物線在N點的切線斜率就是y=2x2在N點的導函數值，而y′=4x，xN=xA+xB2，所以需要直線與拋物線聯立用韋達定理把xN用k表示即可。

師：很好！你能實現解題目標嗎？

由上面的啟發，學生很容易得到下面的解題途徑。

二、 數學探究要有變式的探究過程

案例2 還以上題為例，在學生已經證明出拋物線在點N的切線與AB平行以后，我接著讓學生思考下面的變式：

變式1：已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點，O為坐標原點，那么△AOB面積有最小值嗎？如果有那么最小值是什么？

分析：首先引領學生探究△AOB面積如何表示？

方法一：S△AOB=12ABd，其中d表示點O得到直線AB的距離

方法二：S△AOB=12OMxA-xB，其中M點為直線AB與y軸的交點M0，2，

顯然方法二的表示更簡單，

當且僅當k=0時取等號。

點評：通過這個變式讓學生體驗一個重要的數學思想——函數思想。

變式2：證明拋物線y=2x2在A，B兩點的切線的交點M的橫坐標xM是xA與xB的等差中項；即xM=xA+xB2。

證明：由上面的求解可知：在A，B處的切線AM，BM的方程分別為：

y-2x2A=4xA（x-xA）y-2x2B=4xB（x-xB）y=4xAx-2x2Ay=4xBx-2x2B，解之得：xM=xA+xB2，所以結論成立。

更進一步可得：yM=4x1·xA+xB2-2xAxB=2xAxB由（2）式知yM=-2。

變式3：由變式2可知拋物線y=2x2與過點0，2的直線交于A，B兩點，則拋物線在A，B兩點處的切線的交點恒在直線y=-2上，且xM=xA+xB2；對于一般的拋物線x2=2py與直線y=kx+m是否具有上述結論呢？即：xM=xA+xB2；yM=-m；

點評：變式3是對變式2一般性結果的探索；反之是否成立呢？

變式4：在直線y=-m上任取一點M作拋物線x2=2py的切線，切點分別為A，B，是否有xM=xA+xB2，且直線AB過定點0，m呢？

解：設：AxA，x2A2p，BxB，x2B2p，MxM，-m，由于y′=xp，所以拋物線在A，B兩點的切線方程分別為y=xApx-x2A2py=xBpx-x2B2p，把MxM，-m代入上式得：

-m=xApxM-x2A2p-m=xBpxM-x2B2p

消去m得xM=xA+xB2，從而yM=xAp·xA+xB2-x2A2p=xA·xB2p=-m（3）

由條件可知直線AB斜率存在，方程設為y=kx+b，由y=kx+bx2=2py，消y得

x2-2pkx-2pb=0，∴xA·xB=-2pb代入（3）式得b=m

所以直線方程為y=kx+m恒過定點0，m。

三、 點評

新課程理念下要求教師必定要加強數學思維能力的培養和運用，注意帶領學生會用數學眼光看世界，利用數學思維了解世界，利用數學語言表達世界；促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展與實踐，探尋萬物變化規律。

作者簡介：

王義東，山東省濟南市，山東省濟南市歷城區教育教學研究中心。