關鍵卡在哪兒？
——一道中考數學題的命題與解法

山東省日照市五蓮縣教學研究室 王金鳳

一道命題巧妙、立意獨特的中考試題能夠更加準確地檢測出學生的真實水平，更好地發揮升學篩選的作用，同時還可以對教師的數學教學起到引導作用。重慶市2015年數學中考試卷第25題給我們的感覺是第三小題的圖形很復雜，證明起來難度較大，那么如何才能降低題目的解答難度，解題的關鍵在哪里？這是本文嘗試探討的問題。

一、試題介紹

（2）試證：HP =HF。

圖1

圖2

二、分析與解答

問題（1）中，已知∠CED為直角，∠DCE=60°，根據勾股定理可知CD=2CE，而CE=，因此，CD=，DG=。問題（2）比問題（1）難度稍大，需要添加一條輔助線，如圖3所示，并進行簡單推理，考查的是基本技能。

圖3

如圖3，添加輔助線CH，GP=CF，GH=CH，因為∠FCH=∠FCD-∠HCD=30°-∠HCD；∠HGP=∠HGC-∠PGC=∠HGC-60°=（90°-∠HDC）-60°=30°-∠HDC，可得∠HGC=∠HGP，△PGH≌△FCH，證得HP =HF。

問題（3）保留了問題（2）的線段，少了點P是CE中點的條件，屬于開放式命題，考查的是綜合能力，難度較大。

證明：如圖4所示，取CD中點K，連接EK，HK，在直角三角形△中，CG =2CF，HK是△CGD的中位線，因此，CG =2HK，可知△為等邊三角形，故CE=EK，又因為∠ECF=∠DCE=30°，∠EKH=∠CKH－∠EKC=30°，可知△ECF≌△EKH，所以∠CEF=∠KEH，∠CEF+∠FEK=∠KEH+∠FEK=60°，可得△FEH為等邊三角形。

圖4

該方法充分利用兩直角三角形的中點構成中線和中位線，并構造全等三角形，從而聯想到幾何變換，引出了上述的證明思路：添加輔助線，通過證明△FEH有兩條邊相等，再證明其中一個角為60°，從而證明其為等邊三角形。從幾何變換角度來說，如圖4所示，證明了一對全等三角形，相當于△EFC繞點E旋轉得到△EHK。通過圖4的證明方面，我們可以看出圖2有瑕疵。

綜合性幾何題目為了呈現各個題目之間的關聯，體現從易到難的命題原則，通常需要組合多個知識點以及圖形拼接、疊加等。但是，圖4的證明方法沒有用到圖2中的線段GP，HP，為什么不將圖2的線段DH、FH抹去呢？通常來說，題目條件越多，解答難度越低，而本題的題目條件多了，難度卻增加了。

三、幾何變換是關鍵

如何將問題（3）中的圖形進行簡化，證明的關鍵在哪里？我們將把圖2中線段GP，HP去掉，簡化圖形，在根據旋轉或對稱性質來證明問題（3）。因此，原題目可以修改為：如圖5所示，在△CDE中，∠CED為直角，∠DCE=60°，點F是∠DCE平分線上的一點，經過點F作GF垂直于CF，過點C作GC垂直于CD，GF，GC相交于點G，連接GD，點H為GD中點，GP垂直于CE，垂足為點P，連接HP，HF。

（1）GP垂直于CE，垂足為P，若H為GD的中點，CE=，求CD，DG的長。

圖5

圖6

（2）如圖6所示，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF，求證：HF=EF。

圖7

（3）如圖7所示，連接EF，EH，FH，△EFH是否為等邊三角形？如果是，請證明；如果不是，請給出理由。

通過將原題目變換為現在的三個圖形，對于突破難度較大的原題第3問更加有力，同時能夠更好地實現命題者的考試意圖。中考命題的根本目標是有效地檢測學生的實際水平。因此，命題者應該從“理解學生”和“理解數學”出發來進行中考命題。經過修改后的題目，既不影響繼續用圖4的方法，還有利于發現如下更多的方法。經過修改后的題目，不影響繼續用圖4的證明方法，還有利于發現更多的證明方法。

我們可以看出該題的解題關鍵在于幾何變換。圖4中，△ECF繞點E旋轉到了△CMF。基于這種思路，我們很容易想到，△ECF還可以繞點C順時針方向旋轉60°來證明，也可以利用對稱來證明，在此，證明過程不再贅述，有興趣的讀者可以自己嘗試來證明。

綜上所述，我們在進行教學時，不要漫無目的地講解和學習各種解題思路和方法，而是要僅僅抓住幾何變換這個解題關鍵去分析才是正道。