巧用柯西不等式解題

湖北省黃岡市麻城市第一中學 盧紅玲

柯西不等式，最初來源于數學家柯西，他在研究流數問題時分析得到了從此聞名于世的柯西不等式，而后又經過其他數學家的不斷推廣和完善，逐步形成了今日我們所學習的內容，如今已經被納入新課程選修教材的教學內容《不等式選講》。

一、合理搭配

二、構建因式

柯西不等式的結構十分簡單直觀，由兩個部分組成，不等號的一邊是因數相乘的形式，另一邊則是完全平方。但一般出現的題型中有些沒有這兩個柯西不等式的明顯標志，比如說需要證明的不等式左右兩邊都沒有出現乘積或是完全平方的形式，許多同學由于對知識掌握不夠熟練、缺乏解題經驗，不容易聯想到用柯西不等式去解題。此時我們可以在不等號某一邊自行構建一個因式或完全平方，讓它與柯西不等式的結構相符，從而套用柯西不等式來解題。

例2：設a+b∈R+，a+b=1，請證明

分析：本題中并沒有出現柯西不等式的標志，而且需要證明的式子含有a和b的八次方項，條件中僅給出了一次方項。這里就需要構建因式，巧用這個條件，將結論部分轉化為只要證明這個不等式就可以了，但目前離題目給出的條件還有一定距離，所以我們需要連續運用多次柯西不等式。

點評：剛接觸到這種類型題目的同學可能會覺得有些難度，不容易聯想到柯西不等式，或是不知道如何巧妙地構建因式來解題。我們總結了這一類題型，同學們可以記住這樣的結論：“當時，有；當，有，以便更好地理清解題思路，掌握舉一反三的能力。另外，這道題的應用很好地體現了柯西不等式的降次能力，利用三次柯西不等式，將結論左邊的八次方項成功降次。

三、調整結構

這一類題目依舊是不具備明顯的柯西不等式的標志，我們可以將已知結構進行適當的調整，使之符合柯西不等式的一般架構。

點評：聯系不等式兩邊，適當對不等式進行變形，使其可以應用柯西不等式。

在高中試題中，除了以上提到的四種變形方法，還有一些其他的小技巧，這里不一一例舉。此外，學生們可能還會遇到更加復雜的一些不等式問題，涉及以上幾種技巧的組合，又或是關聯到其他數學知識，如基本不等式等。歸根結底，這類問題的關鍵還是在于如何建立題目所給條件與所求結論之間的聯系，只要把握好這一重點，以往我們望而卻步的難題將迎刃而解。