三個(gè)基本初等函數(shù)教學(xué)的實(shí)踐研究

☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 薛 梅

數(shù)學(xué)必修1是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高一新生進(jìn)入高中階段必須先學(xué)習(xí)的內(nèi)容.在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，其對(duì)函數(shù)已經(jīng)有了初步的感性認(rèn)識(shí).而高中階段迎接學(xué)生的是另外三個(gè)全新的基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).常言道：良好的開(kāi)端是成功的一半.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握這三個(gè)基本初等函數(shù)，是教師不可回避的問(wèn)題.作為教師，必須深入研究教材，牢牢把握教學(xué)要求，積極地為學(xué)生的學(xué)習(xí)開(kāi)辟綠色通道.

一、明確教學(xué)目標(biāo)，把握教學(xué)難度

要做到明確教學(xué)目標(biāo)，把握教學(xué)難度，必須先重溫三個(gè)函數(shù)的考綱要求：

1.關(guān)于指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解有理數(shù)指數(shù)冪的定義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

2.關(guān)于對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.

3.關(guān)于冪函數(shù)

從三個(gè)函數(shù)的考綱要求中，我們應(yīng)該抓住四個(gè)關(guān)鍵詞：知道、了解、理解和掌握.由此可以看出，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)設(shè)計(jì)應(yīng)該在要求理解和掌握的知識(shí)點(diǎn)上，即應(yīng)該放在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)上，對(duì)于指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算也不可掉以輕心，尤其是對(duì)數(shù)運(yùn)算，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，它是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)之前必須要跨過(guò)的一道坎，必須要花大力氣去克服.過(guò)去有人認(rèn)為，將來(lái)高考主要考的是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，而不是冪運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算，于是，就忽視了這部分內(nèi)容的教學(xué)，通常對(duì)有關(guān)運(yùn)算不加研究，只做到點(diǎn)到為止，因此，對(duì)數(shù)運(yùn)算成了學(xué)生的“盲區(qū)”.其實(shí)，從近幾年高考來(lái)看，指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的考題也頻頻出現(xiàn)，因此，作為教師，必須糾正對(duì)這個(gè)問(wèn)題的錯(cuò)誤看法.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)則是教學(xué)的重中之重，在教學(xué)中，教師應(yīng)做到低起點(diǎn)、高要求.

所謂低起點(diǎn)，就是從課本要求出發(fā)，以本為本，掃清基本知識(shí)障礙；所謂高要求，是針對(duì)高考命題要求而言，在教學(xué)中，可以適當(dāng)增加練習(xí)難度，設(shè)計(jì)具有一定綜合性的例題，讓學(xué)生感知高考要求，但不宜將高三一輪復(fù)習(xí)的題目下放到這里，切不可揠苗助長(zhǎng).

而對(duì)于冪函數(shù)教學(xué)要求則較低，不必“深挖洞”，也不宜“廣積糧”，掌握教材上的例題與習(xí)題的難度就足夠了.

二、把握函數(shù)關(guān)系，厘清思維導(dǎo)圖

任何事物都不是孤立存在的，函數(shù)也是如此，教師教會(huì)學(xué)生厘清三個(gè)基本初等函數(shù)間的關(guān)系，也就教會(huì)了學(xué)生從整體上把握住這三個(gè)函數(shù).

關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生從以下三個(gè)方面去研究：

1.從整體上把握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

從整體上把握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生抓住以下五點(diǎn)：

（1）對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）而言，指數(shù)函數(shù)的定義域與值域是其相應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與定義域.它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故它們互為反函數(shù)，如y=10x與y=lgx.

（2）從函數(shù)的奇偶性角度來(lái)看，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都不具備奇偶性.

（3）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）與y=a-x（a＞0且a≠1）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

（4）對(duì)照它們的圖像特征，可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在y軸右側(cè)部分，圖像越在上方，它的底數(shù)越大；對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）在x軸上方部分，圖像越在下邊，它的底數(shù)越大.

（5）在指數(shù)冪中，它的底可以取1，也可以取負(fù)值；但在指數(shù)函數(shù)中，它的底數(shù)必須是不等于1的常數(shù).

2.從圖像上理解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可根據(jù)其反函數(shù)的圖像性質(zhì)作出，也可用描點(diǎn)法來(lái)畫(huà)，把握住對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的以下特征，就能準(zhǔn)確地畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：

對(duì)數(shù)函數(shù)圖像具有如下特點(diǎn)：

（1）它們都過(guò)兩個(gè)點(diǎn)（1，0），（a，1）.

（2）y軸是漸近線.

（3）a＞1時(shí)，由左向右逐漸上升；0＜a＜1時(shí)，由左向右逐漸下降.

（4）曲線位于y軸右側(cè)，且以y軸為漸近線，故定義域x∈（0，+∞）.

（5）曲線向上向下無(wú)限延伸，值域y∈R.

（6）曲線恒過(guò)定點(diǎn)（1，0），即loga1=0，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0.

（7）當(dāng)a＞1時(shí)，曲線逐漸上升，該函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，曲線逐漸下降，該函數(shù)是減函數(shù).

3.從特例來(lái)理解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

關(guān)于冪函數(shù)，主要引導(dǎo)學(xué)生抓住幾個(gè)特殊冪函數(shù)在第一象限的圖像，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性，推導(dǎo)出函數(shù)圖像的其他部分，如圖2所示.

同時(shí)，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)這三個(gè)基本初等函數(shù)時(shí)，腦中必須有如下結(jié)構(gòu)圖：

要求學(xué)生將圖中內(nèi)容演化為知識(shí)點(diǎn)，再將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)，內(nèi)化為自己的知識(shí).

三、學(xué)會(huì)思考問(wèn)題，提升思維能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的之一，就是會(huì)解題.對(duì)于本部分內(nèi)容來(lái)說(shuō)，求解有關(guān)題目時(shí)，必須關(guān)注相關(guān)的函數(shù)圖像與性質(zhì)，尤其是對(duì)于初次遇到這類復(fù)合函數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，更要花大力氣教給學(xué)生基本的方法和數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論等.

這是一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的含參復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一直是學(xué)生的“痛點(diǎn)”，對(duì)于這類問(wèn)題，教師應(yīng)該這樣引導(dǎo)學(xué)生：對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題，一般要先確保對(duì)數(shù)中底數(shù)大于0，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解不等式，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無(wú)法求解不等式，故應(yīng)分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論.

要提升學(xué)生的思維能力，教師還必須要引導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)減少失誤，盡量做到“零失誤”.為此，筆者幫助學(xué)生總結(jié)了以下幾條：

1.解答指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，通常要先統(tǒng)一底數(shù)，然后才能運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算和法則.

2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像應(yīng)用十分廣泛，它在確定函數(shù)的單調(diào)性、值域、非常規(guī)方程的根和非常規(guī)不等式中的參數(shù)等中都有重要的作用.

3.對(duì)于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)用時(shí)要注意確定底數(shù)范圍，通常情況下底數(shù)不確定時(shí)，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.運(yùn)用單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小時(shí)通常要首先分析數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)，是指數(shù)形式？還是對(duì)數(shù)形式？若底數(shù)相同，則可直接利用單調(diào)性解決；若底數(shù)不相同，則可通過(guò)統(tǒng)一底數(shù)或借助中間值來(lái)解決.

4.對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)習(xí)要樹(shù)立一種意識(shí)，即“底數(shù)大于0不等于1，真數(shù)大于0”.

5.掌握求解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)混合構(gòu)成的方程或不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，常常要考慮它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況，或由它們的位置關(guān)系通過(guò)建立方程或不等式來(lái)解決.

以上三個(gè)做法，是筆者長(zhǎng)期教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，希望對(duì)大家有所啟示.本文不當(dāng)之處，懇請(qǐng)斧正.W