如何在數學教學中培養學生的定向思維與發散思維能力

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學 仲一萍

現代教育尤為重視能影響學生一生的思維能力的培養，數學教育的價值在學生思維能力的培養上表現出其獨有的價值.從方向這一角度可以將思維分為定向思維和發散思維.這兩種不同形式的思維方式分別具有不同的意義.一般來講，人們在掌握固有知識的時候所進行的固定的、循規蹈矩的思維稱作定向思維；在定向思維基礎上繼續深化和發展的思維則稱作發散思維.兩者之間既有聯系，又有區別.定向思維的形成到發散思維的開啟一般呈現出螺旋式上升的科學韻律.

思維這一人們對客觀事物的反應一般呈現出表象、概念、判斷、推理等各種形式，這種對客觀事物的正確反應正是客觀世界能動過程的反映.

對學生思維能力的培養是當今數學教學中一項尤為重要的任務.概括來講，教師在實際教學中應培養學生的積極思維和科學思維，引導、培養學生在形成定向思維的基礎上克服其消極性并促成其發散思維的形成與進一步深化，使學生的思維能夠從定向思維螺旋上升發展成發散思維.

一、定向思維的培養

人腦對事物本質以及事物之間關系進行概括與反映并進行固定方式的思考與解決的思維稱為定向思維.學生對問題做出快速反應、形成認知與理解往往需要借助思維定式的優勢，不僅如此，學生還會因為思維定式的作用在解決問題時能夠按照某個程序快速實現.

因此，教師在新課教授中一般都應想辦法令學生形成思維定式.例如，教師在計數原理問題的教學中首先應幫助學生學會常規的方法，在學生明了不相鄰問題用插空、相鄰問題用捆綁、定序問題用除法的一般方法之后，還應引導學生明了先選后坐位置這一解題中的經驗.不過，在解題中因循守舊，則可能會產生錯誤.

例1盒子中有3個黑球、1個白球、1個紅球和1個藍球，若從中取4個排成一列則有多少種不同排法？

解析：遇到此題一般都會先將黑球進行分類，將黑球分別分成3個、2個、1個并進行選球后坐位置，得，錯誤產生了.問題究竟出在哪里呢？問題的癥結就在于黑球根本不用選，而且黑球交換順序在坐位置時根本不會對解題結果產生影響.任意取2個黑球對于結果不會產生任何影響，因為球都是一樣的；當2黑1藍1白坐位置時又為何不是呢？這是兩個黑球交換順序都不會影響結果的原因，定向思維的消極性也正在于此.教師在學生對所學知識的掌握比較好時就應適當放松定向思維的強調，否則學生往往會滿足于現狀并因此逐步形成因循守舊的思維方式，在具體解題中往往極易出錯或無法突破.

存在一定局限性的定向思維卻也能夠為學生的思考與探索提供一定的方向、方法或解題程序.很多問題雖然不一定因此得解，但學生在初步具備思考方向與一般解題方法之后就能獲得敢于動筆的勇氣，這對于學生來講不失為一個良好的開端.比如，解決相當數量的概率題之后，學生往往會具備一定的解題章法與思路，很多學生看到問題就能獲悉問題所要考查的知識點.以下是一道得分率較高的問題，學生之所以能較好地解決此問題，正是因為學生的思維已經具備了一定的基礎與能力.

例2某車間的甲、乙兩個組各有工人10名，其中女工各有4名和6名.車間主任準備在兩組工人中共簡單隨機抽樣4名工人進行技術考核，分層抽樣時層內不放回.

（1）甲、乙各組抽取的人數是多少？

（2）從甲組中恰巧抽到1名女工的概率是多少？

（3）抽到的4名工人中恰巧有2名男工的概率是多少？

解析：解決這一概率統計知識問題時要求學生具備正確理解分層抽樣的方法，不僅如此，利用分類原理處理事件概率的能力也是學生在解決此題時應該具備的能力.要求第（1）問中甲、乙兩組各抽取的人數可以利用分層統計原理直接求得；要求第（2）問中恰巧抽到1名女工的概率則要用到組合公式；要求第（3）問中恰巧有2名男工的概率則要正確理解題意并進行正確的分類才能求得.

解：（1）甲、乙兩組的工人各有10名，要從兩組人員中共抽取4名工人根據分層抽樣原理則應考慮從每組中各抽取2名工人.

（2）記A表示事件：從甲組中恰巧抽到1名女工，其概率為

（3）記B表示事件：抽到的4名工人中恰巧有2名男工，Ai表示事件：從甲組抽出的2名工人中恰巧有男工人i名，i=0，1，2，Bj表示事件：從乙組抽出的2名工人中恰巧有男工人j名，j=0，1，2.

Ai和Bj獨立，i，j=0，1，2，且故P

培養學生的定向思維是益處與壞處同時并存的，因此，教師在培養學生的定向思維的時候一定要有所把握，令學生的定向思維發展到一定程度就獲得發散思維的培養，否則學生在定向思維的一貫作用中必然會受到消極的影響.

二、定向思維向發散思維過渡的培養

發散思維這一高層次的思維形式不可能在一朝一夕之間形成，學生的發散思維由熟到巧的過程需要教師的不斷培養與指導.因此，教師應隨時關注到學生學習過程中的新奇感并盡量多地進行假設，使學生能夠在更多個為什么中獲得一題多解、一題多變的訓練并最終達到舉一反三的效果.

教師在具體的教學過程中應引導學生運用多種方法對問題答案進行探求，使學生能夠在不同角度與途徑的問題探尋中獲得發散思維的鍛煉與發展.

例3求證

證法1：（運用二倍角公式）

證法2：（逆用半角公式）

證法3：（運用萬能公式）

設tanθ=t，則

證法4：因為

證法5：（變更問題）證明下式（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）即可.

證法6：（利用比例性質）由正切半角公式tanθ=，利用合分比性質即可令該命題得證.

學生在教師有意識的一題多解的引導與訓練中進行了多方面的思考，最終師生共同歸納概括并獲得三角恒等式的基本證明方法如下：（1）統一函數種類；（2）統一角度；（3）統一運算.

有意義的一題多解能令學生更好地拓寬思路并獲得知識之間的廣泛聯系，使學生能夠在多角度思考解題方法的訓練中不斷對問題進行逐層深入的思考并獲得發散思維的鍛煉.

不過，值得教師注意的是，一題多解確實是培養學生發散思維的一個良好途徑與手段.除此之外，教師還可以根據具體問題進行結論或條件的改變并令學生在更具深度與廣泛性的訓練中獲得發散思維的培養與提升.在培養學生定向思維基礎上的發散思維訓練能令學生更好地發揮定向思維的優勢并獲得解題能力的不斷提升，教師在具體教學中應平衡好學生定向思維與發散思維的培養并促進學生能力的發展.W