例談學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升

☉江蘇省徐州市第二中學(xué) 劉 陽

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性地提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，歸納總結(jié)出了高中階段數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

數(shù)學(xué)課堂是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要陣地，而解題是貫穿其中的一條主要鏈條，如何在解題的過程中培養(yǎng)與滲透學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文結(jié)合教學(xué)實踐，通過具體的教學(xué)案例來剖析學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升.

二、問題的解決

（一）在數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念應(yīng)用成為培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)之一.

數(shù)學(xué)抽象是指除去事物的一切物理屬性后所剩的具體的數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，而數(shù)學(xué)概念恰恰是揭示對應(yīng)事物之間的數(shù)量、結(jié)構(gòu)、關(guān)系以及空間形式等本質(zhì)屬性，兩者之間具有一定的關(guān)聯(lián).特別地，數(shù)學(xué)概念完全離不開數(shù)學(xué)抽象的思維過程，必須從具體事物中區(qū)分并抽象出所研究的具體對象的本質(zhì)特征，進(jìn)而加以科學(xué)的抽象概括，從而得以認(rèn)識和理解所研究的對象，最后結(jié)合對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來分析與處理.

案例1已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，且滿足

思維過程：本題涉及抽象函數(shù)及其函數(shù)值的求解，涉及函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的解析式、函數(shù)值問題等.解題的關(guān)鍵是如何從抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式入手，通過賦值，利用待定系數(shù)法、局部換元法、整體換元法等方法來解決，從而達(dá)到求解相應(yīng)的函數(shù)值的目的，巧妙地滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

解題剖析：設(shè)f（1）=m≠0（否則不滿足

所以令x=1時，可得，即mf（m+1）=1，可得

又令x=m+1時，可得，即，可得

由函數(shù)f（x）為定義在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，

（二）在數(shù)學(xué)定理、公式應(yīng)用中培養(yǎng)與提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)定理及公式的應(yīng)用成為培養(yǎng)與提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要手段之一.邏輯推理是從一些已知的事實、確定的命題等角度出發(fā)，根據(jù)邏輯規(guī)則、相應(yīng)的定義、公理或定理等來推理一個相關(guān)命題的邏輯思維過程，而數(shù)學(xué)定理、公式的推理與應(yīng)用往往是邏輯推理的重要結(jié)果之一，同時邏輯推理也是得到數(shù)學(xué)定理、公式的重要方式之一，其中又滲透著豐富的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

案例2已知cos（α+β）=cosα+cosβ，試求cosα的最大值.

思維過程：從三角恒等變換入手加以變換，結(jié)合三角關(guān)系式的特征，視β為主元，通過觀察（cosα-1）cosβsinαsinβ，利用輔助角公式加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到相應(yīng)的三角不等式，再通過解三角不等式來解決最值問題.巧妙滲透邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

解題剖析：由cos（α+β）=cosα+cosβ，可得cosαcosβsinαsinβ=cosα+cosβ，

整理可得（cosα-1）cosβ-sinαsinβ=cosα，

根據(jù)輔助角公式可得cos2α=［（cosα-1）2+（-sinα）2］sin2（β+φ），

則有cos2α≤（cosα-1）2+（-sinα）2，整理可得cos2α+，解得

（三）在立體幾何應(yīng)用中培養(yǎng)與提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

立體幾何應(yīng)用成為培養(yǎng)與提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的重要場所之一.在立體幾何應(yīng)用中，用不同空間場景、不同位置關(guān)系、不同數(shù)量形態(tài)、不同變化規(guī)律等為直觀想象的埋設(shè)提供條件.而直觀想象又是在立體幾何的基礎(chǔ)上直觀地發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，并結(jié)合立體幾何的相關(guān)知識分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段之一，奠定探索和形成有效的論證思路、進(jìn)行合理的邏輯推理、構(gòu)建具體的抽象結(jié)構(gòu)的思維基石，從而有效解決問題.

案例3（2018·全國尖子Ⅰ理·12）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則用α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

思維過程：解決本題的關(guān)鍵是確定滿足條件“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”的平面α的變化規(guī)律，通過動與靜的結(jié)合，構(gòu)造直觀模型，確定所有截面圖形中截面面積的最大值所對應(yīng)的截面情況，很好的體現(xiàn)了空間想象能力與推理論證能力，而具體的最值求解則顯得比較簡單.巧妙滲透直觀想象素養(yǎng).

解題剖析：根據(jù)題目條件可知平面A1C1B符合題意，如圖1所示，那么題中的平面α可以由平面A1C1B平移得到，平移后的圖像如圖2所示，六邊形EFGHMN為該截面，如圖3所示，

圖2

圖3

同理△EHP也為等邊三角形，

（四）在實際問題應(yīng)用中培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

實際問題應(yīng)用成為培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要平臺之一.在實際生活應(yīng)用問題中，經(jīng)常需要根據(jù)實際問題對相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)層面的分析與處理，將生活實際問題轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)建模），進(jìn)而再利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來分析、解決對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最后再轉(zhuǎn)化為實際生活問題的解即可.

案例4（2018·北京理·4；文·5）“十二平均律”是通用的音律體系，明代著名的律學(xué)家，有“律圣”之稱的朱載堉（1536年—1611年）最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展與應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律是將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于同一個常數(shù)若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（ ）.

思維過程：根據(jù)題目條件的分析可知“十二平均律”中的所有的單音的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，并通過確定首項與公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式來處理求解即可.巧妙滲透數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

解題剖析：根據(jù)題目條件可知，所有的單音的頻率構(gòu)成一個以a1=f為首項，公比的等比數(shù)列，

三、感悟與反思

其實，我們知道“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”這六大高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間既相互獨立，可以直接應(yīng)用于具體問題，又相互融合，形成一個有機(jī)和諧的整體，共同用來解決相關(guān)問題.因此，不僅僅是中學(xué)階段，從小 學(xué)一年級（或更早的學(xué)前教育階段）開始到大學(xué)階段，各個階段都離不開數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升，這是一個系統(tǒng)不間斷的過程.在數(shù)學(xué)解題過程中都可以有意識地培養(yǎng)與滲透.總之，在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，如何在各層面培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)成為每一位數(shù)學(xué)教師的光榮使命，通過不同角度積極實踐，獲得有效成果，共同交流，共同提高.