構造函數在解題中的應用例析

☉湖北省黃梅縣第五高級中學 蔣劉熠

函數和方程思想是高中數學中常見的數學思想之一，是把我們所要研究的問題構造成對應的函數模型，利用函數的性質解題.高中數學課程始終貫穿著函數的思想方法，因此我們需要掌握一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的性質和圖像特征，并利用函數的單調性、奇偶性、周期性、最值、圖像變換等來解題.在解決此類問題時，要善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式并巧妙運用函數的性質.另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題.本文將從比較式子的大小和求解不等式兩個方面以具體例題來說明構造函數的具體用法.

一、構造函數比較式子的大小

例1比較兩個數an和bn的大小.

分析：觀察這兩個數發現，二者指數相同，底數不同.為此，我們可以構造一個冪函數y=xn，利用冪函數的單調性來判斷這兩個式子的大小.

（1）當n＞0時，函數y=xn在（-∞，+∞）上單調遞增，an和bn的大小關系與底數a和b的大小關系相同，即如果a＞b，那么an＞bn，反之，an＜bn.

（2）當n＜0時，函數y=xn在（-∞，+∞）上單調遞減，an和bn的大小關系與底數a和b的大小關系相反，即如果a＞b，那么an＜bn，反之，an＞bn.

例如，比較2.5-1.8和2.6-1.8的大小，因為指數-1.8＜0，所以y=x-1.8是單調遞減函數，而2.5＜2.6，所以2.5-1.8＞2.6-1.8.

評注：構造函數比較幾個數的大小是函數單調性的重要的應用.這時需要我們掌握所構造的函數的單調性，并利用單調性來比較大小.而我們構造的函數通常都是平時常見的初等函數或者是它們的復合形式，所以通過構造函數來比較式子的大小需要我們較好地掌握初等函數（一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數）的圖像及其單調性.

二、構造函數解抽象函數的不等式

例2函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對?x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）.

解：構造函數g（x）=f（x）-（2x+4），

則g′（x）=f′（x）-2.因為f′（x）＞2，所以g′（x）＞0，

即g（x）在R上單調遞增.

又因為g（-1）=f（-1）-［2×（-1）+4］=2-2=0，

所以f（x）＞2x+4可轉化為g（x）＞0，即g（x）＞g（-1）.

因為g（x）在R上是單調遞增的，所以x＞-1，

所以f（x）＞2x+4的解集為（-1，+∞）.故選B.

例3設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，試求不等式f（x）g（x）＜0的解集.

解：構造函數h（x）=f（x）g（x），

因為f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），

故有h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），

所以h（x）為定義在R上的奇函數，所以h（0）=0.

當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，所以h（x）單調遞增.因為h（x）是奇函數，所以x＞0時，h（x）也單調遞增.而當x=0時，h（0）=0.

h（-3）=f（-3）g（-3）=0，因為h（x）為奇函數，所以h（3）=-h（-3）=0，因此大致可以判斷出h（x）這個函數的圖像，所以h（x）＜0的解就為x∈（-∞，-3），即f（x）g（x）＜0的解集.

三、變更主元解恒成立的不等式

例4設不等式2x-1＞m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立.求x的取值范圍.

分析：由于常見的思維定式，該問題很容易被認為是關于x的不等式求解.然而，若變換主元以m為變量，記f（m）=（x2-1）m-（2x-1），則該問題轉化為求一次函數（或常數函數）f（m）的值在［-2，2］內恒負時的參數x應滿足的條件.

解 ：構 造 函 數f（m）=（x2-1）m-（2x-1），則 有化簡后得

滿足這兩個不等式的x的取值范圍分別為因此綜合可得x的取值范圍為x∈

例5對于滿足0≤p≤4的實數p，求使x2+px＞4x+p-3恒成立的x的取值范圍.

分析：我們做這種題時一般是告訴自變量的取值范圍，求因變量的取值范圍.基于這種想法，因為條件中告訴了我們0≤p≤4，因此我們不妨變換主元把p變為自變量，記f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，則該問題轉化為求一次函數f（p）的值在［0，4］內恒大于0時，參數x應滿足的條件.

解：構造函數f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，這是一個關于p的一次函數.要想0≤p≤4時f（p）＞0恒成立.由一次函數圖像可知，需解得綜上可得x的取值范圍為x＜-1或x＞3.

評注：構造函數求解不等式是解決不等式問題的一種重要方法，如果我們能夠活學活用，結合不同類型的不等式題目，選取不同的方法構造函數，分析函數及其圖像特性，將會使我們的解題大大簡化.W