千尺絲綸直下垂，一法才動萬法隨
——2017年全國卷Ⅲ第17題的解法賞析及教育價值探究

☉安徽省淮南二中 王 勇

作為教學推手及風向標的高考試題是高考命題專家深入思考、長久醞釀、反復打磨的精品，能很好地體現教育者的智慧，反映最前沿的教育理念，折射高校的選人標準，也能從一個側面管窺社會對人才的需求方向，一般都有研究和教育教學的應用價值.有詩人說：“千尺絲綸直下垂，一法才動萬法隨.”本文從對2017年全國卷Ⅲ第17題的解法賞析出發，探討其教育價值，希望對中學數學教學有點啟發、對中學教師有點點撥、對教學改革有點幫助！

2017年全國卷Ⅲ第17題是一道三角函數求值及解三角形的綜合題，涉及三角變換、三角求值、正余弦定理及三角形面積等相關知識.本題的多種解法考查了運算能力、數學建模、邏輯推理等數學核心素養，體現了解決數學問題的思維的靈活性、建模的適用性、運算的精確性，有利于培養學生創新性及開放性的思維品質，對數學課堂教學如何培養學生的核心素養有很好的導向作用.

一、多種解法展示

原題呈現：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

（1）求c；

（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解法1：在△ABC中，由余弦定理，得，從而可得

解法2：由解法1知，從而

所以D是BC中點，從而

解法3：

解法4：由余弦定理，得，從而

解法5：設

在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，

解法6：如圖1所示，過點B作BH⊥AB交AD的延長線于點H.

在直角三角形ABH中，所以BH=2，

所以△ADC≌△HDB，有BD=DC，故D是BC中點，

解法7：如圖2所示，過B作BH⊥AC交CA的延長線于H.在直角三角形ABH中，，所以AH=2，所以A是HC中點，而BH∥DA，所以D是BC中點，從而

圖1

解 法8：設，則

解法9：以A為坐標原點，以為x軸建立平面直角坐標系，則

直線BC的方程為

令x=0，則，故D點坐標為

從而D是BC中點，

二、教育價值淺析

本題上述幾種解法涵蓋了高中數學所涉及到的三角法、代數法、幾何法、向量法、解析法，并體現了兩種或兩種以上方法的綜合應用.下面從以下幾點來分析其教育價值：

1.三角法

解法1、2、3、4體現了三角法在本題中的應用.三角函數是學生在高中階段學習的一類重要函數模型，在很多領域都有廣泛應用.這種解法是將一般的數學問題轉化為三角符號，然后用三角運算、分析推理求出答案.學生通過從一些基本公式出發推導結論，體會演繹推理的內涵以及三角恒等變換的邏輯體系.應用正弦定理、余弦定理解三角形加強了學生對實際問題的理解，同時又強化了與三角恒等變換的橫向聯系，從復雜的問題中抽象出數學問題并加以解決.因此，通過三角法的運用，可以使學生在解決問題的過程中深刻體會到數學的應用價值，培養學生邏輯推理與運算能力，并增強了學生分析問題、解決問題的意識.

2.代數法

解法5體現了代數法在本題中的應用.函數與方程、不等式思想是高中數學的主線之一，這一數學思想貫穿高中數學始終.本題通過建立方程（組）找到等量關系，使復雜的動態問題得以靜態解決.在高中階段，學生要能夠用方程思想去研究問題、解決問題，并在頭腦中形成方程思想的雛形，才能以靜制動、以不變應萬變.這是學習數學的要求，更是數學發展所必須的.

3.幾何法

解法6、7體現了幾何法在該題中的應用.平面幾何中的演繹推理，是一種直觀化、形象化的數學模型.本題通過添加恰當的輔助線，激發學生的數學思維.用平面幾何解決三角形問題對高中生來說本身就是一種跨越，信息整合的過程就是培養學生分析圖形、培養其直觀想象能力的過程.目前高中教材對平面幾何的內容涉及較少，高考中更是沒有直接體現.這對培養學生的抽象思維能力不得不說是一種遺憾.

4.解析法

解法8體現了向量法在本題中的應用.具有代數與幾何雙重屬性的向量在高中階段的重要性是不言而喻的，特別是用向量解傳統平面幾何問題可謂是“神來之筆”.本題的向量解法過程真是簡潔、美觀、干凈利索，并讓人有意猶未盡之感.通過向量運算有助于學生體會數學各板塊之間的內在聯系，體現數學的創造過程，提高學生的運算能力、推理能力.

5.向量法

解法9體現了解析法在本題中的應用.笛卡爾創立的解析幾何學是人類歷史上的一項重大發明，是數學史上一次劃時代的轉折.解析法的本質是用代數方法解決幾何問題，體現了數形結合的思想.本題用解析法解決實際上是一次思維的跳躍，不但體現了學生對解析法的理解、對數形結合思想的應用，更展現了學生的數學運算能力.

總之，一題多解考查了學生思維的深度與廣度以及運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力，從而可以評判出學生能力與素養的差異.在數學課上多進行一題多解訓練可以開闊學生的視野，調動學生探索問題的積極性，培養學生的探究精神與創新意識.一線數學老師要深入挖掘經典考題的教學價值，多角度、多方位進行應用，使低效無趣的解題課堂變得高效而精彩！