一道解三角形綜合題的探究之旅

☉山東省肥城市泰西中學 穆西軒

在近幾年的模擬題、高考題、自主招生以及競賽中，經常會碰到涉及三角形面積的應用問題.此類問題往往背景活潑多樣，知識交匯點眾多，而且解答難度較大，解決問題的思維方式多變，解決方法也多種多樣.

一、問題呈現

問題：在△ABC中，H是△ABC的垂心，D為AB的中點，若△ABC的面積為S，則

本題知識點眾多，涉及三角形，三角函數的余弦值，三角形的垂心，三角形的中點，三角形的面積以及平面向量的數量積等相關知識點，如何借助三角形中的相關定理，結合垂心的特點、中線定理等知識的應用，巧妙借助三角形的面積公式與平面向量的數量積公式的轉化與應用來達到求解的目的，提升能力，拓展應用.

二、多解思維

根據正弦定理轉化得到CH關于AC的表達式，結合平面向量的數量積公式與三角形的面積公式代入關系式中，同時結合直角三角形的性質以及正弦定理加以巧妙轉化從而得到涉及角C的三角關系式，進而得以求解.

解法1：由于，結合同角三角函數基本關系式可得

圖1

如圖1所示，CE⊥AB，AF⊥CB，由正弦定理可得則有

利用平面向量的中點公式，并結合平面向量數量積中的投影性質加以轉化，結合三角形的面積公式與直角三角形的性質以及正弦定理，巧妙轉化得到涉及角C的三角關系式，進而得以求解.

解法2：由于，結合同角三角函數基本關系式可得

由于D為AB的中點，

根據三角形的面積公式，借助邊CE的轉化，通過tanC的過渡，以及正弦定理的應用，進而轉化為含有C■→H·的關系式，從而得到，再結合同角三角函數基本關系式來求解.

解法3：由于，結合同角三角函數基本關系式可得，可得

通過取特殊的等腰△ABC，結合條件確定AC=BC，這樣垂心H在中線CD上，利用設出利用直角三角形的性質以及相似三角形的比例關系加以求解，再利用平面向量的數量積公式與三角形的面積公式代入求解即可.

解法4：如圖2所示，取特殊的等腰△ABC，此時AC=BC，則垂心H在中線CD上，

在Rt△CFH與Rt△CDB中，因為90°，∠HCF=∠DCB，所以△CFH∽△CDB，故利用相似三角形的比例關系可得解得

通過取特殊的直角△ABC，結合條件確定∠A=90°，利用設出AC=3，AB=4，那么垂心H與點A重合，利用平面向量的投影以及數量積加以轉化即可快速求解.

解法5：如圖3所示，取特殊直角△ABC，其中∠A=90°，根據，則設AC=3，AB=4，此時垂心H與點A重合，

結合平面向量的投影以及數量積可得C■→H·C■→D=C■→A·C■→D=C■→A2=9，

總評：對于以上問題的求解，分別從解三角形方式切入、平面向量應用切入、三角形面積切入以及特殊圖形的選取切入，方法多樣，各有千秋.其實，對于此類解三角形中的定值問題，經常可以采用特殊圖形法，結合條件構造出滿足條件的特殊三角形，然后直接利用三角形的邊角關系來快速破解，這也是解決此類問題最有效可行的方法，而且在解決選擇題或填空題時更加實用.

通過從多個不同的角度來探究分析，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，多角度拓展，真正體現對數學知識的融會貫通與變式應用，充分展現知識的交匯、綜合與應用，達到提升能力、拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生所說：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W