高考數列解題策略談

☉江蘇省成化高級中學 呂紅霞

在江蘇新課標高考中，數列既是高考命題的重點內容，又是高考命題的難點之一.要想突破這一難點，不僅要求考生具有扎實的數列知識，更要學會一些基本的解題技巧與方法.

一、善用性質，優化運算

等差數列與等比數列有一些值得注意的性質特征，這些性質特征是我們巧妙解題的突破口，也是優化解題過程的“綠色通道”.

例1 已知等比數列{an}中，各項都是正數，且a3=a1+則

思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項的和，則兩式的比值與q有關，所以需要求出q.由條件a3=a1+2a2，將等式中的項均用a1，q表示出來即可求出q.從而解得表達式的值.

解：因為{an}為等比數列，故a3=a1q2，a2=a1q，將其代入等式可得a1q2=a1+2a1q?q2-2q-1=0，

所以，而{a}為正項數列，n

故選C.

評注：在等比數列{an}中，設S=am+1+am+2+…+am+k，T=則有：

二、善用轉化，妙求通項

已知數列的遞推關系式，求數列的通項，是高考中的“常客”，對于這類問題，往往要求我們將其合理變形，轉化為求等差數列或等比數列的通項問題，一般利用累加法或累乘法求通項.

例2已知數列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1（n∈N*）；數列{bn}中，b1=a1，bn+1=4bn+6（n∈N*）.求數列{an}，{bn}的通項公式.

解析：由已知得

所以an+2-an+1=1（n≥1）.

又a2-a1=1，所以數列{an}是以a1=2為首項，1為公差的等差數列.所以an=n+1.

因為bn+1=4bn+6，即bn+1+2=4（bn+2），又b1+2=a1+2=4，所以數列{bn+2}是以4為公比，4為首項的等比數列.所以bn=4n-2.

評注：數列問題，先考慮求其數列的通項，非等差數列或等比數列一般可轉化為等差數列或等比數列.遇到Sn要注意利用Sn與an的關系將其轉化為an，再研究其具體性質.

三、妙用函數思想，巧破數列不等式恒成立問題

數列其實是一類特殊的函數，所以數列中的不等式恒成立問題與函數中不等式恒成立問題的解法十分相似，基本方法是利用參變量分離法，將其轉化為求新數列的最值問題，數列中的最值問題一般是利用數列的單調性求解；而數列中的不等式恒成立的證明，很多時候可以與放縮法聯系起來.

例3已知數列中

（1）若a=-7，求數列{an}中的最大項和最小項的值；

（2）若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.

解析：（1）因為（n∈N*，a∈R，且a≠0），又因為a=-7，所以

所以數列{an}中的最大項為a5=2，最小項為a4=0.

已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

故a的取值范圍為（-10，-8）.

評注：對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，故a6是這個數列的最大項.而數列的最值問題往往可以轉化為函數的最值問題來解決.

四、“多管齊下”，何懼數列創新題

在高考中，數列創新題主要包含新定義問題和探索性問題等，且處于壓軸題的地位，難度較大.征服這類問題往往需要采用多種思想和方法，方可奏效.

例4 定義：若各項為正實數的數列 {an}滿足an+1=，則稱數列{an}為“算術平方根遞推數列”.已知數列{xn}滿足xn＞0，n∈N*，且，點（xn+1，xn）在二次函數f（x）=2x2+2x的圖像上.

（1）試判斷數列{2xn+1}（n∈N*）是否為算術平方根遞推數列？若是，請說明你的理由；

（2）記yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求證：數列{yn}是等比數列，并求出通項公式yn；

（3）從數列{yn}中依據某種順序自左至右取出其中的項yn1，yn2，yn3，…，把這些項重新組成一個新數列{zn}，若數列{zn}是首項為、公比為（m，k∈N*）的無窮等比數列，且數列{zn}各項的和為，求正整數k、m的值.

解析：（1）數列{2xn+1}是算術平方根遞推數列.理由如下：因為點（xn+1，xn）在函數f（x）=2x2+2x的圖像上，

所以數列{2xn+1}是算術平方根遞推數列.

（3）由題意可知，無窮等比數列{zn}的首項公比（k、m∈N*且k、m為常數），

若m-1≥3，則＜16矛盾！所以m-1≤2.

又m-1=0或1時，所以m-1=2，即m=3.

評注：本題為新定義問題，命題背景新穎，命題方式創新，既有證明題，也有探究題，同一個題目中多種方式相結合.解決新情境、新定義數列問題，首先要根據新情境、新定義進行推理，從而明確考查的是哪些數列知識，然后熟練運用歸納、構造、正難則反、分類與整合等方法進行解題.

高考數列問題雖然千變萬化，但只要抓住解題要領，就會“逢兇化吉”！ H