數形結合思想在高中數學中的應用*

☉四川省內江師范學院數學與信息科學學院 劉恩庸

☉四川省內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

一、數形結合思想

數形結合思想是把“數”和“形”結合起來思考問題并解決問題的一種思想方法.數學研究的對象可分為數和形，數與形是有聯系的，這個聯系稱為數形結合.數形結合可分為兩種情形：一是借助于“數”的精（準）確性來彌補“形”的粗糙性，二是借助于“形”的直觀性來彌補“數”的抽象性.數形結合就是把抽象的“數”的結構、關系、變化等與直觀的“形”結合起來，通過“數化形”（即抽象問題形象化）或“形化數”（即幾何圖形精確化），即通過“抽象思維”與“形象思維”的結合，以達到解決數學問題的目的.

數學的研究對象大致可以分為兩類：一類是研究數量關系的；一類是研究空間形式的.“數”和“形”是數學的兩個基本概念，“數”和“形”具有的一一對應關系，決定了“數”和“形”之間可以相互轉化、相互解釋、相互表征，“數”和“形”的結合可以揚長避短并能彌補各自的不足.

數形結合作為一種重要的思想，在高中數學中有著非常廣泛的應用.數形結合的意義體現在：加深對數學知識的理解；開拓解題思路，提高解題效率；有助于直觀形象思維和抽象邏輯思維的培養；是培養學科核心素養的有效途徑.

二、數形結合思想在高中數學中的應用

通過對典型問題的具體分析，探討了數形結合思想在集合、方程、不等式、函數、數列、三角、平面向量、解析幾何等問題中的應用.

1.集合問題

在處理集合運算的一些問題時，Venn圖和數軸是運用數形結合的重要載體.

例1設集合求集合M∩N所表示圖形的面積.

圖1

分析：本題單靠代數討論，難以直觀地說清道理，借助圖形，問題可迎刃而解.

解：由

可知集合M表示折線y=|x|和之間的區域；集合N表示圓x2+y2=4及其內部.

如圖1所示，點A、點B分別表示y=|x|與圓x2+y2=4的左、右交點，C點、D點分別表示與圓x2+y2=4左、右交點，E點為折線與y軸的交點，則表示的圖形為上述兩區域的公共部分，解方程組可得，又由圖可知，C點與D點關于y軸對稱，因此由，得陰影部分的面積

2.方程問題

一元方程的實數根就是一元函數的零點.因此，解決方程問題時，可以借助于函數的圖像，從而實現“數”與“形”的轉化.

例2（2015年湖南卷理科第15題）已知函數f（x）=若存在實數b，使得g（x）=（fx）-b有兩個零點，則a的取值范圍是______.

分析：g（x）=f（x）-b有兩個零點等價于函數y=f（x）的圖像與直線y=b有兩個交點.

解：當a＜0時，如圖2所示，符合題意；

圖3

當0≤a≤1時，如圖3所示，不存在b使得f（x）與函數圖像y=b有兩個交點，故不符合題意；

當a＞1時，如圖4所示，符合題意.

綜上所述，當a＜0或a＞1時，滿足要求，所以a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

圖4

3.不等式問題

在證明某些不等式時，若能發掘題目條件與結論中的相關數式的幾何意義，則可把代數問題轉化為直觀的幾何問題，從而使問題簡潔獲解.

例3a，b，c，d∈R，求證：

分析：根式結構有多種不同的幾何意義（解釋）：在直角坐標系中，它表示點（a，b）到原點（0，0）的距離；在復數域中，它表示復數a+bi的模長；在直角三角形中，它表示以a、b為直角邊的三角形的斜邊長（a＞0，b＞0）.故可根據需要，利用不同的幾何意義，得到不同的解題方法.

解：設則待證的不等式轉化為|OA|+|AB|+，此結論顯然成立.

4.函數問題

函數是實現數形結合的重要平臺.函數的解析式具有“數”的特征，函數的圖像具有“形”的特征，這兩者的結合是實現數形結合的基本方法.

分析：設y1=x2-4|x|+5，y2=m.則問題等價于方程x2-4|x|+5=m有4個零點，也就是y1與y2的圖像的交點有且只有4個.畫出函數y1和y2的圖像，如圖5所示.不難看出，當1＜m＜5時，函數y1和y2的圖像有且只有4個交點，所以m的取值范圍是（1，5）.

圖5

5.數列問題

一個數列的通項公式和它的前n項和公式，可以看作關于正整數n的函數.運用數形結合思想解決數列問題，可以借助數列的函數背景，并利用其函數圖像進行直觀分析，最終可以避免大量運算并簡潔獲解.

例5設{an}為等差數列，前n項和為Sn，若S4=S18，則S22=______.

分析：等差數列的前n項和為Sn=An2+Bn的形式，其圖像為過原點的拋物線.

解：由知，其對稱軸為，故拋物線與x軸的另一交點坐標為（22，0），即S22=0.

6.三角問題

現行人教A版教材中的三角函數是借助單位圓來定義的.因此，借助于單位圓的“形”來解決三角函數問題，是數形結合思想的基本方法.

例6求值

分析：記A（cos20°，sin20°），B（cos40°，sin40°），則原式的幾何意義是單位圓上的兩點A，B連線的斜率.構造圖形如圖6所示，則=120°，因此

評注：本題直接用三角函數的和差化積公式進行恒等變換，容易解決，但現行教材對三角函數的和差化積公式已不作要求，此法受限.通過發掘問題的幾何意義（斜率），使求解變得簡潔明快，并能感受到數形結合思想的威力.

對相應系數矩陣T′進行整理，可得列數為32的誤差變換矩陣T″，因此需要辨識的結構誤差參數變換為x1，Q2～Q5，x6～x21，x23,x25～x29，x31～x35，則式(15)可以變形為

7.平面向量問題

向量是“數”和“形”結合的典范.在向量問題中，采用數形結合是很自然的數學思維策略和方法.

例7已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|ca-b|=1，則|c|的取值范圍是（ ）.

分析：由向量坐標運算公式化簡原式，再由式子聯想相關圖像解決問題.

解：由題意，設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），則c-ab=（x-1，y-1）.

所以點（x，y）在以C（1，1）為圓心，1為半徑的圓上，而表示圓上點（x，y）到原點O的距離.

8.解析幾何問題

幾何問題化為代數問題是解析幾何的基本思想，但若不重視解析幾何問題中的幾何意義就會繁算、苦算甚至算錯.

例8（1）已知點F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為______.

分析：分別用雙曲線的定義、橢圓的定義來轉換.

解：（1）如圖7，設雙曲線右焦點為F1，則點F1的坐標為（4，0）.

（2）如圖8，設橢圓的左焦點為F′，則|PF|+|PF′|=4，所以|PF|=4-|PF′|，所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF′|-4.

當且僅當P，A，F′三點共線時，|PA|+|PF′|取最小值，即，所以|PA|-|PF|的最小值為1.

9.立體幾何問題

若用坐標去探討一些立體幾何的位置關系或度量問題，往往會遇到較多煩瑣的代數運算，求解起來比較麻煩.但若重視立體幾何的幾何背景，問題可能會得到較簡潔的解決.

例9如圖9，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為2cm，M為AA1的中點，N為BC的中點，則在棱柱的表面上從點M到點N的最短距離是多少？

分析：采用展平法，即將立體圖形展開成為平面圖形，然后利用圖形的直觀性容易獲解.

解：（1）從側面到N，如圖10，沿棱柱的側棱AA1剪開，并展開，則

（2）從底面到N點，如圖11，沿棱柱的AC、BC剪開并展開，則有

圖11

數形結合思想在排列組合、導數、復數、概率等問題中也有廣泛應用，值得研究.