含參數的絕對值不等式恒成立問題的解法探討

☉江蘇省無錫市第六高級中學 胡振輝

含參數的絕對值不等式恒成立問題是不等式中的一種常見題型.這種題型既含參數，又含有絕對值，因此比一般的含參數不等式恒成立問題更加復雜，容易讓人感到束手無策，其實只要我們冷靜下來，仔細分析就會找到解題思路.下面本文以幾道這樣的題為例，探討一下含參數的絕對值不等式恒成立問題的解法.

含參數的絕對值不等式恒成立問題常見的解法有圖像法、最值法、參變分離法.

一、圖像法

作出函數的圖像，觀察函數的圖像隨參數變化的規律，從而得到參數的取值范圍.

例1不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍是______.

解：在同一直角坐標系中分別作出函數與函數y=|x-a|的圖像，如圖1所示.依題意，當x∈時，函數的圖像恒在函數y=|x-a|的圖像的上方，由圖可知

故所求實數a的取值范圍為

例2已知不等式|x-2|-ax+1＞0的解集為R，求實數a的取值范圍.

解：因為不等式|x-2|-ax+1＞0的解集為R，所以|x-2|＞ax-1對x∈R恒成立，在同一直角坐標系中分別作出函數y=|x-2|與y=ax-1的圖像.由題意可知，函數y=|x-2|的圖像恒在函數y=ax-1的圖像的上方，由圖2可知故所求a的取值范圍為

小結：適合用圖像法求解的含參數絕對值不等式恒成立問題，一般需要先將不等式進行適當變形，再構造函數，利用一個函數的圖像恒在另一個函數圖像的上方或下方得到參數的取值范圍.

二、最值法

求出函數的最值，再根據恒成立所滿足的條件得到參數的取值范圍.

例3已知不等式|x-1|+|x-a|≥a對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

解：設f（x）=|x-1|+|x-a|，

則f（x）≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，所以［f（x）］min=|a-1|.

依題意得|a-1|≥a，當a≤0時，此不等式恒成立.

當a＞0時，則a-1≥a或a-1≤-a.由a-1≥a，得a∈?；由a-1≤-a，得，又a＞0，所以

綜上所述，a的取值范圍為

例4若對任意x∈R，不等式x2+2|x-a|≥a2恒成立，則實數a的取值范圍是______.

解：設f（x）=x2+2|x-a|，x∈R.

當x≥a時，f（x）=x2+2（x-a）=（x+1）2-1-2a；

當x＜a時，f（x）=x2-2（x-a）=（x-1）2-1+2a.

若a≤-1，如圖3所示，由得

若-1＜a＜1，如圖4所示恒成立；

若a≥1，如圖5所示，由得a=1.

綜上所述，a的取值范圍為［-1，1］.

圖3

圖4

圖5

小結：適合用最值法求解的含參數絕對值不等式恒成立問題，一般是先構造函數，然后分情況討論去掉絕對值符號，再判斷其單調性，利用函數的單調性求出最值，但有些函數的最值可以直接利用絕對值不等式的性質求出，如例3.函數的單調性一般是利用導數來判斷，但對于二次函數的單調性則可以通過配方找出其對稱軸，結合函數的開口方向進行判斷.

三、參變分離法

分離參數與變量，求參數范圍問題轉化為求函數的最值問題，通過求出函數的最值，得到參數的取值范圍.

例5已知f（x）=x|x-a|-2，若當x∈［0，1］，恒有f（x）＜0，求實數a的取值范圍.

解：（ⅰ）當x=0時，顯然f（x）＜0成立，此時a∈R.

（ⅱ）當x∈（0，1］時，由（fx）＜0，可得，即

綜合（ⅰ）（ⅱ）知，a的取值范圍是（-1，3）.

例6當時恒成立，則實數a的取值范圍是______.

解：當時恒成立，

所以函數（fx）在區間上是減函數，

所以函數g（x）在區間上是增函數，

綜上所述，所求a的取值范圍為

小結：含有參數的絕對值不等式恒成立問題，若參數與變量易于分離，一般應優先考慮用參變分離的方法解題，具體做法是先去掉絕對值符號，再分離變量，把求參數范圍問題轉化為求函數的最值問題，若不存在最值，可求出函數的取值范圍.

對于含參數的絕對值不等式恒成立問題，一般采用圖像法、最值法、參變分離法求解，我們應該根據題目的特點，靈活地選用適當的方法.H