一道高考題的解法探究

☉安徽省宣城中學 陳 誠

通過建立平面直角坐標系，平面上的點與坐標（有序實數對）、曲線與方程建立了聯系，從而實現了數與形的結合.在解析幾何中，通過聯立直線與圓錐曲線的方程，可將直線與圓錐曲線的交點體現為方程組的解.結合韋達定理，就可以用代數的方法獲得幾何的結論.

2018年全國高考卷Ⅰ理科第19題第（2）問是典型的解析幾何問題，即用解析的方法說明了當直線過定點，斜率之和為定值.其本質是直線繞定點運動時的恒成立問題.以直線與橢圓為例，常見的直線過定點問題有（1）斜率之和為0，直線過x軸上一定點；（2）斜率之和為一非零常數，直線過象限內一定點.筆者基于這一高考題來探究問題的本質.在橢圓背景下，筆者得到了兩斜率之和為定值，直線過定點的有關結論.

一、試題解析

題目：設橢圓的右焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當直線l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解：（1）略.

（2）證明：由橢圓C的方程可得F（1，0）.

當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°，結論顯然成立.當直線l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.當直線l既不與x軸重合也不與x軸垂直時，設直線l：x=my+1，

設A（x1，y1），B（x2，y2）.

則直線MA，MB的斜率之和為

由x1=my1+1，x2=my2+1，得

故kMA+kMB=0，即MA，MB的傾斜角互補，即∠OMA=

在這個問題中，點M（2，0）與過右焦點的直線有什么聯系嗎？事實上點M的橫坐標，經筆者探究發現有如下結論.

二、背景探究

命題1橢圓，直線l過橢圓的右焦點F（c，0）且與橢圓交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點，證明

證明：同上題解析，也可證明其逆命題是成立的.

命題2橢圓點M的坐標為直線l與橢圓交于A，B兩點，若kMA+kMB=0，則直線l過橢圓右焦點F（c，0）.

簡證如下：當直線l既不與x軸重合也不與x軸垂直時，設直線l：x=my+t，令Δ＞0，設因為

希望m的變化對等式的成立沒有影響，

因此，可以得證.

結論1橢圓：點 的坐標為M直線l與橢圓交于A，B兩點，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過橢圓右焦點F（c，0）.

評注：此結論是否只在直線過橢圓焦點時才成立呢？如果直線l僅是過x軸上某一定點是否也有此優美的結論呢？筆者繼續探究發現.

結論2橢圓：點M的坐標為（t，0）（t≠±a且t≠0），直線l與橢圓交于A，B兩點，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過定點

令Δ＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

分子為

必要性證明略.

評注：事實上不僅在橢圓中，在拋物線中也有相似的結論.例如2015年全國高考卷Ⅰ理科第20題，筆者將它推廣為一個與結論1類似的結論.

結論3拋物線C：y2=2px（p＞0），點M的坐標為（t，0）（t＜0），直線l與拋物線交于A，B兩點，則kMA+kMB=0的充要條件是直線l過定點（-t，0）.

證明略.

評注：斜率之和可以為其他非零常數嗎？筆者繼續探究得到結論4，也補充了結論2中點M與橢圓頂點重合的情況.

結論4橢圓，橢圓的右頂點M（a，0），直線l與橢圓交于異于點M的A，B兩點，則kMA+kMB=（tt≠0）的充要條件是直線l過定點

證明：必要性.顯然直線l的斜率存在，設直線l：y=kx+m.

可得m=-ak（此時直線l過橢圓右頂點）或

可得直線l過定點

充分性證明略.

結論5若點M為橢圓上頂點（0，b），直線l與橢圓交于異于點M的A，B兩點，則kMA+kMB=t（t≠0）的充要條件是直線l過定點證明略.