一道壓軸題引發的思考

☉廣東省廣州市第八十九中學 歐陽圣

廣州市第八十九中學2018學年上學期高二理科數學期中考試填空題壓軸題如下：

題目：已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若則|k|=______.

全校560多名學生參加考試，絕大部分考生選擇放棄，平均分不到0.5分，可謂全軍覆沒.原因是此題考查的知識點涉及到向量運算、直線和圓錐曲線聯立消元、韋達定理、拋物線定義、向量的坐標表示等.運算復雜，思維嚴謹，集數學知識、思想方法和解題策略于一體.這道題的常規解法如下：

解：設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），與拋物線y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點.

所以Δ=16-16km＞0，即km＜1，

拋物線y2=4x的焦點F（1，0）.由，得于是得

所以m=-k.② 所以

在有限的時間里，按照常規方法來解此題，需要扎實的基本功以及堅強的意志和耐心.此類試題在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬于客觀題中的壓軸題，也有作為大題進行考查的.很明顯是一道拉分題，所以有必要對此類題型進行探究，找出解題規律或改進解題方法.

此題中涉及斜率、離心率、定比分點、焦半徑等知識.讓人很容易聯想到圓錐曲線的第二定義.

定理1圓錐曲線上的點到焦點的距離與它到準線的距離之比是圓錐曲線的離心率.

定理2設圓錐曲線C的焦點F在x軸上，過點F且斜率為k的直線l交曲線C于A，B兩點，若，則

下面簡單證明定理2：如圖1所示，過點A，B分別作準線的垂線，垂足分別為點A1，B1，過點B作AA1的垂線BM，垂足為點M，連接AB.由定理1可知，

圖1

推論1若傾斜角為θ，則（三角恒等變形可知）.

推論2當曲線的焦點在y軸上時

推論3無論是中的λ，還是中的λ，的值都是一樣的.

現在回到上面那道期中考試題中，將e=1，λ=2代入

解：這里，又有λ=4，代入公式得，故選A.

解：這里，又有λ=3，代入公式得，故選B.

這種方法相比于常規法，省略了復雜的運算，在高考中，如果掌握了這個性質，不僅可以節省很多時間，還可以輕松拿分.所以作為一名一線教師，在課堂上需要將“教師講授”轉變為“學生討論”，通過合作學習使學生成為學習的主人.在教學中，大膽放手，給學生充足的時間去互相討論，去合作學習，讓學生成為學習的主角以及知識的主動探索者.在創設研討、競爭的學習氣氛中，學生始終處于不斷發現問題和解決問題的思考狀態中，一節課下來不但學到了自己感興趣的知識，而且使自己的自主性得到充分發揮.

教師不但要在課內激發和維持學生自主參與的熱情，更要將課內迸發出的參與熱情有效地延續到課外，以促使其在課外積極主動地探索數學知識的奧秘，并由此體驗到數學知識所散發出的魅力，進一步激發其學習數學的濃厚興趣，從而使學生從課內到課外始終處于積極主動、自覺參與的氛圍之中.

只要教師在教學中重視，并不斷地對學生進行培養和訓練，久而久之就會使學生的自主學習能力得到發展，使學生探究的積極性得到提高，并且通過不斷探究，從中發現解題規律，然后運用規律去解決同類問題.這樣既可以培養學生的探究精神和創新精神，又可以讓學生體會到數學解題的樂趣.