基于核心素養下高考題的探究
——以2018年高考試題為例

☉江蘇省海安高級中學 景 君

“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”是高中數學核心素養的主要方面，這些素養之間既相互獨立，又相互交融，形成一個有機、和諧的整體.但如何正確引導學生的數學核心素養的培養與發展呢？我們可以直接通過具有導向意義的高考真題來展示.下面結合2018年高考數學真題，就數學核心素養的考查進行實例剖析.

數學抽象主要涉及的內容：從數學數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，進而從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征，用數學知識進行處理.

例1（2018年全國卷Ⅱ）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）.

分析：結合抽象函數的基本性質與關系式，通過奇函數的性質、周期函數等來轉化與處理，再直接利用函數的基本性質來切入，從而得以求解.

解：由于f（x）是奇函數，則f（x）+f（-x）=0，且滿足f（1-x）=f（1+x），則有f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），令x=t+1，則-f（t）=f（t+2），-f（t+2）=f（t+4），故f（t）=f（t+4），即f（x）=f（x+4），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期T為4.

結合f（x+1）=-f（x-1），f（1）=2，可得f（3）=-f（1）=-2，而f（2）=f（-2）=-f（2），可得f（2）=0，則有f（4）=-f（2）=0，則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12×0+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2.

故選C.

點評：本題結合抽象函數的基本性質與關系式，通過奇函數的性質、周期函數等來轉化與處理，直接利用函數的基本性質作為切入點進行求和.

邏輯推理主要涉及兩類問題：一類是從特殊到一般的推理，其邏輯推理形式主要有歸納、類比等；一類是從一般到特殊的推理，其邏輯推理形式主要有演繹等.

例2（2018年北京卷）設集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，則（ ）.

A.對任意實數a，（2，1）∈A

B.對任意實數a，（2，1）?A

C.當且僅當a＜0時，（2，1）?A

分析：假定（2，1）∈A，分別作為x與y的值，代入條件中的集合，從而確定參數a的取值范圍，由此得以推理出對應結論的真假情況.

解：若（2，1）∈A，當x=2，y=1時，有2a+1＞4且2-a≤2，即且a≥0，所以當時，（2，1）∈A，所以當且僅當時，（2，1）?A.

故選D.

點評：通過假定（2，1）∈A，確定x與y之間的值，進而確定參數的取值情況，考查邏輯推理的數學核心素養.在具體推理過程中，要抓住問題的條件結合數學模型或數學語言，轉化為相應的數學知識，再結合相關的數學知識來處理與推理.

數學建模主要涉及的內容：在實際情境中，通過數學的視角來發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，進而求解結論，驗證結果并改進模型，最終達到解決實際問題的目的.

例3（2018年全國卷Ⅰ）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

分析：通過構造單位圓，把對應的函數關系式與相應的三角形面積加以鏈接得到S△ABC=|sinx（1+cosx）|，通過單位圓中所有內接三角形中正三角形的面積最大的性質來建立不等式即可求解最值問題.

解：如圖1，構造單位圓，其中A（-1，0），B（cosx，sinx），C（cosx，-sinx），D（cosx，0），那么

可知（fx）=2sinx+sin2x的最小值為

點評：借助解幾的特殊數學模型——單位圓，考查數學建模的核心素養.巧妙地把對應的函數關系式與三角形的面積加以鏈接，利用在單位圓中所有內接三角形中正三角形的面積最大的性質來建立不等式，利用單位圓所對應的圖像法來解答更直觀、更簡捷、更可行，另辟蹊徑，便于解答.

直觀想象主要涉及：（1）借助空間認識事物的位置關系、形態變化及運動規律等；（2）利用圖形描述來分析數學問題；（3）建立數與形的聯系，進而構建數學問題的直觀模型，達到解決問題的目的.

例4（2018年全國卷Ⅲ）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖2中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖2擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是圖3中的（ ）.

分析：通過直觀圖的分析，由于某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，那么靠近一邊的中間部分必須是中空的，由此可以確定對應的俯視圖形狀.

解：通過觀察直觀圖，可知咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是選項A中的圖形.

故選A.

點評：以古代的建筑為問題背景，借助空間幾何體的三視圖來確定相應的視圖問題，考查直觀想象的核心素養.在解決此類問題時，往往要從空間幾何體的性質、三視圖的規律等方面入手，借助空間幾何體，真正做到從圖形入手，學會畫圖、識圖、用圖，培養空間想象能力.

數學運算主要涉及內容：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.

例5（2018年全國卷Ⅰ）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入的構成比例，得到如圖4所示的餅狀圖：

圖4

則下面結論中不正確的是（ ）.

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

分析：假設建設前的經濟收入數，進而得到建設后的經濟收入數，分別利用兩個經濟收入的構成比例餅狀圖中的數據信息加以整合，對相應的統計信息進行數據處理與分析，從而作出正確的判斷.

解：假設建設前的經濟收入為100，則建設后的經濟收入為200，可得建設前的種植收入為100×60%=60，建設后的種植收入為200×37%=74，由此知A錯誤；

建設前的其他收入為100×4%=4，建設后的其他收入為200×5%=10，由此知B正確；

建設前的養殖收入為100×30%=30，建設后的養殖收入為200×30%=60，由此知C正確；

建設后的養殖收入與第三產業收入的總和為37%+28%=65%，由此知D正確.

故選A.

點評：借助統計中的餅狀圖的識別與應用，通過對統計中數據信息的分析與處理，真正考查數據分析的數學核心素養.解決此類統計中的圖表問題時，要正確地從統計的圖表中讀出相應的數據信息，并加以轉化，進而利用相應的數據來分析與解決問題，達到決策、判斷的目的.

其實，數學核心素養作為數學課程發展到一定階段的產物，在平時的數學教學與數學學習中，要有針對性地加強學生各方面核心素養的培養與訓練.在平時的數學課堂教學中，要真正切實地融入數學核心素養的培養，重視學生的閱讀與理解能力，讓學生充分理解與思考，在思考中充分發揮主觀能動性，主動獲取知識，提高抽象推理能力，親身體驗數學的過程與發展，才能真正有利于學生各方面的發展.H