例談全國卷Ⅰ（理科）中的數列問題

☉湖北省荊門市第一中學 王韻萱

全國卷Ⅰ歷年的高考試題中數列題目出現的情況一般有兩種：一是選擇題和填空題各一道，分值10分；二是只有一道解答題，分值12分.從題目難度上來看，數列解答題一般難度都不是太大，即便是選擇題和填空題也一般為中檔題，當然有時數列題目偶爾也會出現在選擇題或者填空題的最后一題，題目較難.接下來筆者就以新課標全國卷Ⅰ歷年的高考試題為例來分析一下這些題目的解決方法.

一般我們將數列問題分為兩大類：有通項式類和無通項式類.

一、無通項式類

無通項式類問題中的通項公式一般難以求出或根本不能求出，這時候就需要我們對題干中的已知條件進行一些適當的轉換進而來得到問題的答案，這類問題一般出現的概率比較小.而此類問題解題的關鍵在于怎樣將題干中的已知條件通過適當的轉換一步步化為我們所求的目標，下面通過幾個例題來說明.

例1（2009年新課標理科卷Ⅰ，第14題）設等差數列{an}的前n項和為sn，若s9=72，則a2+a4+a9=______.

解析：這道題目僅知道數列的前9項和，也就是說只知道a5=8，通過觀察所求式子，不難發現a2+a4+a9=3a5，即所求答案為24.

例2（2012年新課標理科卷Ⅰ，第16題）數列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為______.

解析：看到（-1）n這一項，根據經驗可以想到將n分奇偶來求解.

可得出奇數項和為15×2=30，偶數項和為8（1+3+5+…+29）=1800，即前60項和為1830.

二、有通項式類

有通項式類的數列題目比較多，一般來說難度與跨度都比較大，通常在解答題中為中檔題，選擇題和填空題有個別難題.通過以下幾個例題來說明這一類題目的解題方法和解題思路.

例3（2012年新課標理科卷Ⅰ，第5題）已知{an}為等比數列，a4+a7=2，a5a6=-8，則a1+a10=（ ）.

解析：等比數列已知兩個條件，則一般通過這兩個條件可求出通項.通過觀察a5a6=-8可化作a4a7=-8，又a4+a7=2，則可以解出a1+a10=a4q-3+a7q3=-7.故選D.

例4（2016年理科卷Ⅰ，第3題）已知等差數列{an}的前9項和為27，a10=8，則a100=（ ）.

解析：這道題目屬于比較容易的數列題，由題明顯可以得到a5=3，由a10=8可以得到通項an=n-2，則a100=98.故選C.

例5（2017年理科卷Ⅰ，第12題）已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，在接下來三項是20，21，22，以此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N＞100且該數列的前N項和為2的整數冪，那么N為（ ）.

解析：通過題目可以找到規律.第m組有m項，分別為20，21，22，…，2m-1.

第m組的和為2m-1，前m組的和為2m+1-m-2，

由于N＞100，則，則m≥14，

若要使前N項和為2的整數冪，設，則項的和2k-1應與-2-m互為相反數，即2k-m-3=0，由m≥14，則k≥5.k=5時，m=29，此時

故選A.

例6（2018年理科卷Ⅰ，第14題）記Sn為數列{an}的前n項和，若Sn=2an+1，則S6=______.

解析：這道題很明顯可以求出通項，

再將n=1代入原式可得a1=-1，

接下來我們來說一說有關數列題目的解答題，如果高考中數列題目出現在解答題上，就一定出現在第17題的位置上.第17題作為解答題的第一道題目，一般不會太難，而且通常會有兩問，第一問根據已知條件求數列的通項公式，第二問根據已知條件求數列的前n項和，解題方法一般也很固定，只要按照正常的解題步驟一步步規范解答就沒有任何問題.

例7（2015年理科卷Ⅰ，第17題）Sn為數列{an}的前n項和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3.

（1）求{an}的通項公式.

解析：（1）當Sn和an同時出現在一個等式中時，一般利用an=Sn-Sn-1（n≥2）來進行求解.

兩式相減整理可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0.

由于an＞0可得（an-an-1-2）=0，即an-an-1=2.

令題目中等式的n=1，可得a1=3.

所以{an}是首項為3，公差為2的等差數列，通項公式為an=2n+1.

設數列{bn}的前n項和為Tn，則數列{bn}的前n項和

例8（2014年理科卷Ⅰ，第17題）已知數列{an}的前

n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數，

（1）證明：an+2-an=λ.

（2）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由.

解析：（1）與上題一樣有Sn和an同時出現在一個等式中，利用an=Sn-Sn-1來進行求解.

由an≠0可得，an+2-an=λ.

（2）假設存在λ，使得{an}為等差數列，則將n=2代入題目中等式可得a2=λ-1，a3=λ+1，a3-a2=2，要使{an}為等差數列，則a2-a1=λ-2=2，即λ=4，此時an=2n-1為等差數列.

歷年來的理科卷Ⅰ中數列題目必定會出現，出現的方式可能是一道選擇題外加一道填空題，也可能是第17題.這些題目的難度一般不是很大.在歷年的理科卷Ⅰ中，只有2012年和2017年這兩年的高考題的數列題目分別出現在第16題和第12題的位置上，難度較大.做數列題目的關鍵在于如何根據題干中的已知條件厘清思路，明確這道題是否需要求出其通項公式及前n項和，如果需要求出其通項公式，就需要觀察題干中給出的已知條件，思考要用什么方法求其通項公式及前n項和.如果不需要求出其通項公式及前n項和，就需要思考其轉化的方式，必要時可使用公式進行一些適當的變形.

總之，高考中的數列題目一般難度不會太大，解題方法和思路一般也不會超出我們所學的常用的幾種基本方法，其關鍵之處在于規范細致.做題時一定要看清題干中給出的已知條件和所要解決的問題，認真審題，細心解題，規范答題，相信在以后的高考中遇到數列題目我們都能迎刃而解.