失誤突破，對策剖析
——以2018年全國卷Ⅰ文科第20題為例

☉山東省青島第一中學 任軍濤

通過對高考試題的深入分析與研究，并進行讀題、做題、議題、思題等步驟，關注高考對數學教學的指導思想．下面以2018年全國卷Ⅰ文科第20題為例，這是一道以拋物線為背景的解析幾何問題，表述清晰，難度中等．而從高考后對此題的作答的調查情況來看，仍有頗多的典型失誤．

一、試題呈現

題目（2018·全國卷Ⅰ文·20）設拋物線C：y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C交于M，N兩點．

（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN．

本題涉及到拋物線的方程與幾何性質，直線與拋物線的位置關系，直線的方程與斜率等基礎知識，考查學生的函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想以及分析問題的能力和運算求解的能力等．

解：（1）當l與x軸垂直時，l的方程為x=2，代入拋物線C：y2=2x，可得M的坐標為（2，2）或（2，-2），

所以直線BM的方程為或

（2）當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN；

當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知直線BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN.

綜上所述，∠ABM=∠ABN．

二、典型失誤與對策分析

1．對而不全

在第（2）問的證明過程中，沒有對“l與x軸垂直”和“l與x軸不垂直”兩種情況進行分類討論，就直接設出直線l的方程為y=k（x-2），然后進行推演與證明．

分析：對于后者的錯誤，這是解析幾何中涉及直線方程的斜率存在性問題中最常見的典型失誤，屬于邏輯性錯誤．這類典型失誤在平時課堂教學過程中會經常強調．但在實際解答過程中，由于受到問題的特殊性以及高考狀態下學生思維的片面性等原因的影響，導致此類失誤一再出現．

這類典型失誤除了在解析幾何中出現，在其他知識點中也經常出現．例如，在三角運算中“角的范圍限制”問題，等比數列中的首項以及公比“非零”問題，直線與圓錐曲線相交的“判別式”問題，基本不等式中“一正二定三相等”問題，函數導數值的正負與其“單調性的關系”問題，函數的極值點與“導函數的零點的關系”問題等，都是比較容易出現忽略、遺漏或是轉化過程的不等價變換等情況．

對策：加強學生數學思維的訓練，特別是嚴謹性訓練．邏輯推理與解答過程是類似的，必須具備等價性．而在解答題的書寫過程中，就必須嚴謹，正確區分從一般到特殊以及從特殊到一般的關系．在以上典型失誤中，解答過程中畫出的直線l是某一瞬間的、特別的情況，不可能同時包括“l與x軸垂直”和“l與x軸不垂直”這兩種情況，進而在解答的書寫過程中就會導致遺漏，造成對而不全．

教師在教學過程中，必須重視對學生數學思維的發散性（變式法）、靈活性（多視角）、創新性（構造法）以及全面性（等價轉化）的培養與訓練．針對具體的數學問題，引導學生從問題的不同角度、各種關系、相關屬性等進行全面考慮，靈活地解決問題．

2．運算不準

在第（1）問的求解過程中，出現了運算出錯，坐標確定出錯，直線方程出錯等；在第（2）問的證明過程中考查數學基本運算，包括直線的斜率之和、直線與拋物線的位置關系等問題中的運算，有的在kBM+kBN的轉化過程中運算出錯，有的在直線方程代入拋物線方程中運算出錯，有的在利用根與系數的關系轉化中運算出錯，有的是運算一半，無法進行下去而出錯，總之運算過程中變量較多，運算繁雜，從而導致失誤．

分析：運算錯誤分析其原因有兩個：一個是知識性錯誤，一個是心理性錯誤．

（1）基本知識掌握不牢固，導致知識性錯誤．本題比較常見的有直線的斜率公式出錯而導致相關的運算出錯，直線與橢圓的位置關系中聯立方程組的運算出錯，根與系數的關系中表達式的運算出錯等．而在其他相關數學知識中，也經常會由于相應基本知識掌握不牢固的情況而導致運算出錯．

（2）心理因素不穩定導致麻痹大意或過度緊張．由于在高考的高壓狀態下，考生的心理狀態很容易被分為兩個極端，一個是麻痹大意，一個是過度緊張，其都是心理因素不穩定造成的．而其最終造成的結果就是要么對簡單運算不夠重視，要么心態不穩導致筆誤等，最終都會造成運算錯誤．

對策：加強課內、課外訓練．

（1）課內強化訓練．在課堂教學中，重視對學生基本運算求解能力的訓練，力求做到基本運算零失誤．在專心、細心、耐心、信心等方面下功夫，在學生的每一個細節上尋求突破，實現全面提升．

（2）課外面批訓練．利用自習課等，在作業解答、測試訓練中，通過課外面批，針對出現的錯誤，指導學生有針對性地對知識點、心理素質等加以訓練，促進學生基本知識的進一步熟練掌握，心理素質的進一步有效提升．

3．思維不暢

在第（2）問的證明過程中，當l與x軸不垂直時，要證明∠ABM=∠ABN成立，轉化為BM，BN的傾斜角互補，即kBM+kBN=0來處理．由于思維不暢，無法進行上述思維的合理轉化，導致無從下手．

分析：解決問題的思維方式往往是巧妙轉化與化歸，解題思維的切入點是解決問題的關鍵．通過分類討論，當l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN；當l與x軸不垂直時，如何選定證明∠ABM=∠ABN時所切入的角度，就是解決問題的關鍵．由于思維不暢，不會加以巧妙轉化利用BM，BN的傾斜角互補，即kBM+kBN=0來處理．

（1）導致思維不暢的一個主要原因是知識點之間的聯系不夠密切．很多的數學知識點之間是相互聯系，密切相通的，這在解題過程中需要經常對思維加以轉化．例如直線與圓錐曲線有無交點與對應的判別式的正負取值，直線的斜率與對應的傾斜角，直線垂直與圓的關系，平面向量的數量積與垂直、平行關系等，都是思維轉化的重要知識點．

（2）導致思維不暢的另一個主要原因就是缺少解題的靈活性，當一種思維不暢時，可以采取其他思維方法來轉化與應用．其實本題中，當l與x軸不垂直時，要證明∠ABM=∠ABN成立，還可以轉化為：①巧設直線l的方程為：x=my+2（m∈R），結合角平分線的性質知，若有∠ABM=∠ABN，則有成立；利用兩點間的距離公式的轉化以及比值的應用得到相應關系式成立，進而得以證明∠ABM=∠ABN.②巧設直線l的方程為x=my+2（m∈R），利用平面幾何方法，根據∠ABM=∠ABN的等價條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉化，結合平面幾何中對應直角三角形相應邊的比值的關系式的建立與轉化來分析，進而得以證明∠ABM=∠ABN.③通過設出直線l的參數方程為θ為直線l的傾斜角，θ≠0，t為參數），引入參數，結合直線BM，BN的斜率之和kBM+kBN=0的轉化，進而來確定直線BM，BN的傾斜角互補，最終得以證明∠ABM=∠ABN等．

對策：加強全面分析，一題多解的訓練．

（1）加強全面分析．在分析問題時，要全面把握題目所提供的所有關鍵信息，尋找相關信息之間的關聯，探索已知信息與所求結論之間的關聯通道與轉化途徑，力求解題方向明確，思維體系通暢，內在聯系明了，解題運算簡單．

（2）加強一題多解的訓練．在傳統的教學過程中，學生的思維極具定向性、專一性．而“一題多解”恰好是克服其思維定式的有效途徑，同時也是培養學生發散性思維和思維靈活多樣性的有效方法．通過“一題多解”的訓練，培養學生從多角度、多途徑、多知識尋求解題方法，開拓解題思路，進而通過多種解法的對比與分析選取最佳解法，總結解題規律，提升解題能力，增強思維品質，最終提升數學核心素養．

三、幾點反思

以上只是這道解析幾何問題的一些典型失誤，在其他知識點的解題過程中也存在類似的失誤，有時還有其他方面的失誤．這些典型失誤在平時教學過程中重復出現，而在考場中也時時重演著．

從教師層面，應加強與學生面對面的交流，指導學生從平時抓起，從“糾錯本”入手，注意細節，提高正確率．不少教師對學生的學習方式、學習方法等方面的指導還不夠，只是沿用傳統的線性方式記筆記和糾正錯題，沒有形成體系化，導致記憶效果不佳．從學生層面，必須加強學科學習體系、學習方式、學習方法等方面的改進，注重自主學習，使得學科內容體系化、解題過程嚴謹化、學習動力內驅化，真正做到自主學習并科學掌握．

總之，教師要充分挖掘學生自身內部的能動力，引導學生自主學習，減少或避免由于各種原因導致的典型錯誤，真正達到學會、會做、做好的目的．H