立足基礎 強化聯系 突出本質 優化方法
——對“平面向量應用舉例”一輪復習課的思考

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

一、問題提出

目前多數學校高三復習采用三輪復習法，一輪復習（時間從9月初到次年3月底）梳理基礎知識與基本技能以夯實基礎，二輪復習（時間從4月初到5月上旬）突出主干并突破難點以提高技能，三輪復習（時間從5月中旬到高考前）模擬強化，查缺補漏以調適到備考的最佳狀態.一輪復習時間長（半年）、內容多（整個高中知識）、任務重（使高中知識與技能系統化、結構化、完整化），是整個高三復習的基礎與關鍵.高三數學一輪復習多以某本教輔為藍本，按部就班地對知識、技能、方法等逐點掃描和梳理，并適時地補充該教輔遺漏的內容，喚醒學生的記憶.隨著時間的推移，學生會對一輪復習照本（教輔材料有詳細解答）宣科的教學方式產生疲勞甚至厭倦，學習興趣持續下降，對一輪復習中學習到的知識與方法愈發模糊.一輪復習結束后學生對知識掌握不牢、理解不透，解題能力不高，應用能力不強，思維躊躇不前.

那么一輪復習課到底該怎么上？近日，筆者在本校聽了一節題為“平面向量應用舉例”的高三一輪復習課.該班是實驗班，生源較好.教師在本節課之前已安排了基礎內容“平面向量的概念及其線性運算”“平面向量基本定理及坐標表示”“平面向量的數量積”，同時在授課前一天發放了本節課的學案供學生自主學習探究.下面筆者簡錄教學過程，給出對相關內容的理解和教學思考.

二、案例評析

例1設且λ+μ=1，則上的投影的取值范圍是（ ）.

解法1：記上的投影為x，由題意可知

當λ=0時，x=0.

當λ＞0時，

故當λ=1時，取得最小值為1，

當λ＜0時，

教師展示解法1（多數學生為解析法）后引導學生思考向量基底法與向量坐標法的區別與聯系并探尋解法緣由.當學生回答此題為“已知a·b及|a|，求b在a上的投影”類型時，教師追問：“|是已知還是未知？條件中有無與目標相關的不變量（以靜制動）？λ+μ=1在此處有無特殊意義（目標指向）？”通過這些問題學生自覺地將兩種建系方法（以OA（OB），OB（OA）所在直線分別為x軸，y軸）進行比較以發現哪種方法與條件聯系更為緊密.教師在此強調對（向量的投影）概念的理解和對題意的挖掘，并展示部分學生的解法2.

解法2：如圖1所示，點P的軌跡為直線l（AB），過點O作直線l的平行線m，記直線l的傾斜角為α，可得.則上的投影為而則有即在上的投影的取值范圍是

變式：在中動點G滿足若點G的軌跡與直線AB，AC圍成的封閉圖形的面積為，則BC=（ ）.

解法1：記△ABC的內角B的對邊為b，以A為坐標原點，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系（圖略），則設點G的坐標為（x，y），由，得點G的軌跡Γ的方程為設Γ與直線AB，AC的交點分別為點M，N.由題可知，直線AB的方程為，直線AC的方程為y=0，因此聯立（不同的）方程組，得，得b=3，因此在中，由余弦定理可知

解法2：記△ABC的內角B的對邊為，由，得，知，所以所以M，G，N三點共線，得點G的軌跡為直線MN，由，得.在△ABC中，由余弦定理可知

教師在投影展示解法1后問學生“你對自己的解法滿意嗎？”“通過解法1中點M，N的位置及剛剛學習的例1，你有哪些新的想法？”之后教師展示（少數學生在教師提示前已獨立思考得到）解法2，并與學生一起回顧數乘向量的定義及實數的常見變換并強調向量中的三點共線定理是必修4教材第84頁的例3（投影展示）.

點評：教師正本清源，回歸教材，關注概念，注重過程，適度整合，讓學生在自然中深化知識（向量的投影、向量中的三點共線定理等），領悟數學思想（數形結合、化歸與轉化等）.教師沒被少數資優生拉快教學進度，而是基于學情，樂于等待，善于啟發，引領學生透過現象看本質，培養學生良好的學習習慣和理性思考的精神，對少數的資優生與后進生進行單獨交流、個別指導.解題倡導“就近上車”，教師就要讓學生看到車且能登上車.如例1解法2體現了極限思想，先展示公式法后展示定義法，變式中先呈現解析法再呈現公式法，使學生拾級而上，認識從淺顯到深刻，思維從低階到高階.

例2已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P為平面ABC內一點，則的最小值是（ ）.

解法1：以線段BC的中點D為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則C（1，0），設P（x，y），下略.

解法2：記BC的中點為點D，則，當且僅當點P為DA的中點時等號成立.

解法1為通性通法，（部分學生發現）A，B，C位置相對固定，可直接利用向量的極化公式（a-b）2］來求解.教師指出本題為2017年全國卷Ⅱ理科第12題，解法1為解析法，解法2為幾何法，還有均值不等式法等，并提醒學生仔細審題，力求“多想少算”，用深刻的思維代替熟練的操作.

變式：已知不共線的兩個向量a，b滿足|a-b|=2，且a⊥（a-2b），則|b|=（ ）.

解法1：由a⊥（a-2b），得a·（a-2b）=a2-2ab=0，由|ab|=2，得a2-2ab+b2=4，從而得b2=4，即|b|=2.

解法2：作a-2b，如圖2所示，由a⊥（a-2b）知∠AOC為直角，取AC的中點為D，則，由直角三角形斜邊中線的性質知，因此有

圖2

解法3：由a⊥（a-2b），得，從而有|b|=|a-b|=2.

教師呈現解法1后追問結論（|b|=|a-b|）“是巧合還是必然？”“你還能從不同的角度給出解釋嗎？”向量是溝通幾何與代數的橋梁，學生重新審視條件，給出解法2與解法3.解法2給出了向量垂直的不同表征，解法3根據目標對條件實施恒等變形，而2a=（a+b）+（a-b），2b=（a+b）-（a-b）等變形在實數變換中司空見慣，通過類比遷移來強化聯系.

點評：教師強化恒等變形，例2中解法2本質為消元法構建目標函數，比代數法更加清楚直觀.教師通過例題展現出高考題是如何實現對學生思維能力的考查，揭開了高考題神秘的面紗，減緩甚至消除了學生對高考題的陌生感與恐懼感.教學不能止于正確結論的獲得，更應該提倡學生學會獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，培養學生養成良好的學習習慣，從而促進創新意識的發展.變式相對基礎，平凡而不平淡，教師引導學生發散思維、深入反思，充分發揮“小問題，大道理”的作用，使學生的觀察力以及思維品質在潛移默化中進階、優化、提升，同時獲得精神上的愉悅.

例3已知，|b|=3，a與b夾角為45°，求使a+λb與λa+b夾角為銳角的實數λ的取值范圍.

解法1：由已知得

解法2：（a+λb）（λa+b）=3λ2+11λ+3.由a+λb與λa+b夾角為銳角，得3λ2+11λ+3＞0，則而當a+λb與λa+b同向時，存在正實數μ＞0滿足a+λb=u（λa+b），有得λ=1或λ=-1（舍）.所以實數λ的取值范圍為

幾乎每個學生都采用解法2來解題，教師讓學生分析解法1與解法2，明晰問題的邏輯，體會解法2的割補法和化歸與轉化思想，強調化歸與轉化過程中的等價性.

變式：設向量a、b、c滿足c〉=60°，則|c|的最大值等于（ ）.

圖3

又因為〈a-c，b-c〉=60°，所以O，A，C，B四點共圓.所以當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時∠OAC=∠OBC=90°，則∠ACO=∠BCO=30°，所以可 得

教師結合選項從最大值（邊界的函數值）概念的角度肯定了答案的正確性.要求學生反思求解過程，此時有少數學生（搶答）意識到圖形的對稱性，教師引導學生從代數角度確定c的“終點”位置，學生以點O為坐標原點，OA所在直線為x軸建系求解無疾而終.又嘗試根據OA與OB的對稱性建系簡化運算，得到如下解法2.

解法2：設則，則∠AOB=120°.以O為坐標原點，∠AOB角平分線為x軸建系，如圖4所示，則設，則由°，得

圖4

平方整理得

則有（x-1）2+y2=1或x2+y2=1（且滿足≥0），即點C的軌跡為（以（1，0）為圓心，1為半徑的）和（以（0，0）為圓心，1為半徑的）故當點C與點F重合時，|c|最大，最大值為2.

教師指出解法1只考慮了凸四邊形而遺漏了凹四邊形的情況，強調數形轉化的等價性，謹防形的誤導.教師組織學生再次對題目條件進行推敲，發現問題的本質是“已知，求點C的軌跡”的解三角形問題.

點評：用非零向量a與b的數量積來刻畫a與b的夾角要用到向量a與b的模，過程繁瑣，而a·b＞0等價于〈a，b〉其中a與b共線易于判定，利用“多退少補”等價轉化.例3解法2的本質是先利用結論的必要條件再驗證其充分性.多數學生解題推理不夠嚴密，書寫不夠規范，變式解法1實質是用充分條件代替充要條件，因為該充分條件包含“最大值點”，出現了邏輯錯誤而答案正確的情形，解法2不僅為問題提供了幾何背景，更為學生的學習敲響了警鐘，也對命題人提出了更高的要求.

三、教學思考

高三數學一輪復習需要對學過的基礎知識進行歸納整理，同時還要對某些內容重點突破、深度挖掘，實現各部分內容之間的銜接與整合，促進知識的融會貫通與思想方法的相互滲透，提升學生的數學能力和綜合素養.

1.解讀綱領文件 深入研究教材

高考考什么？怎么考？教師要了如指掌，學生要心中有數.以理科為例，基于高考命題的穩定性，教師應反復研讀《普通高中數學課程標準（2017年版）》，深入解讀上一年的《普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科）》、《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）》，精準領悟近幾年的《高考理科試題分析（語文、數學、英語分冊）》，待新文件頒布后只需微調即可.教師要弄清目標導向，反復研習教材，如在授課中，受限于（期中、期末等）統考進度和學生認知水平等原因，教師對部分內容只能采用抓大（主干重點）放小（精致內涵）且混而不錯的方式教學，復習時則需要對此查缺補漏，正本清源，打好基礎，切實弄透教材中的每一個概念、公式、法則、性質、公理、定理，充分發揮教材中例題、習題的功能，通過變式推廣，學生由淺入深，潛移默化地加深對問題的理解.如“充要條件”內容安排在選修教材2-1中，必修4新授課時只能用描述性語言講解例3，復習課時則應和盤托出，又如例1中對向量的投影概念的理解，其變式利用數乘向量對條件標準化（向量的三點共線定理）等根植教材，只有深入研究教材才能最大限度地發揮教材的育人功能.

2.構建知識體系 強化推陳出新

人的認知結構是動態的、開放的.教學時應掌握課程的整體結構，分析教材的知識結構及前后的邏輯關系，引導學生厘清新授課中孤立的、不連續的知識之間的關系，發現知識的本質，讓學生搭建起穩定而有序的知識結構.當學生的認知結構產生沖突時，就會對原有的認知結構產生質疑、思辨、整合，重新構建更加兼容穩固的認知結構.一輪復習與二輪復習絕不是時間上的區別，而是立足于學情的統籌安排.復習時要避免說教，要用新穎的情境、出乎意外而又情理之中的方式（內容理解、解法呈現等）提升學生的數學素養，引領學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.教師要提供足夠的時間與空間讓學生嘗試多方切入，提高學生的思辨能力、整合意識和創新意識.如例2的解答不能止于解法1，要引導學生發現解法2.例2的變式通過特殊與一般的思考，借助數形結合思想，使解法2與解法3給人以美的感受.

3.聚焦數學本質 積累活動經驗

現象千變萬化，本質始終如一.數學學習要分清問題的源與流，透過現象看本質.只有抓住問題的本質，才不會被現象所蒙蔽，才能切實感受到數學的力量.數學本質的發現不是一蹴而就的，過程曲折甚至非常艱難，這就需要學生具備扎實的基礎知識、沉著冷靜的思考方式以及鍥而不舍的探究精神等.通過對問題本質的探尋過程，發展學生思維，積累活動經驗，體會人生智慧.本節課所選內容簡單平實，教學處理層次分明，問題本質逐步凸顯，學生經驗不斷提升.H