基于“解決問題”的微專題復習案例設計與思考
——以“導數在三次函數中的應用”為例

☉江蘇省清浦中學 吳洪生

近期，本人受淮安市教研室的委托，為本市特級教師工作室的老師上了一節“基于解決問題的微專題復習”展示課，現將上課前后的心路歷程呈現出來.本課立足于一道考題，從母題出發，建構三次函數的圖像特征，對一些零散的知識進行串聯，運用變式巧妙挖掘，既能探究解決問題的通性通法，又能依據問題的特點尋求簡化解法，教會學生如何思考，培養和提高學生“解決問題”的能力.

一、案例設計

導數及其應用在江蘇高考中地位突出，常考常新.三次函數更是高考的高頻考點，在全國各地的模考與高考中爭奇斗艷，特別是三次項的系數含參的三次函數問題更成為各地競相展演的重點，真可謂“你方唱罷我登場”.

1.課前熱身（課前10分鐘）

（1）（教材改編）函數f（x）=x3-3x-1的單調減區間為______.

（2）（2016蘇州模擬）已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時有極值0，則a-b=______.

（3）函數f（x）=x3-ax-1在（-2，+∞）上既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為______.

（4）（2016揚州模擬）函數f（x）=x3-3x+a有三個零點，則a的取值范圍為______.

設計意圖：教材中導數的應用主要講兩個方面，一是用導數研究函數的單調性，二是用導數研究函數的極（最）值.函數的單調性與極（最）值是研究函數的重要基礎，函數其他性質的研究最終都要落實到這二者上.以上四個小題都很基礎，目的是深化學生對基礎知識以及重要考點的理解與掌握.

2.問題提出

母題（2008江蘇高考14題改編）已知函數f（x）=ax3-3x+1，討論f（x）的單調性.

設計意圖：母題是本節課的“魂”.設計目的有五個：一是探究三次項的系數含參的函數單調性；二是借助本例題探索一般三次函數的圖像特征；三是利用三次函數的圖像特征深化研究有關三次函數性質的問題；四是適當降低難度，搭建臺階，為解決2008年江蘇高考第14題作鋪墊；五是期望以母題為出發點，進行一題多解、一題多變、一題多用的訓練，使學生能夠多層次、廣視角、全方位地認識問題，全面深化“解決問題”的能力.

3.合作交流

師：請同學們按獨立思考、小組交流、成果展示這樣的流程探究母題.

生1：f′（x）=3ax2-3，由于含參，首先考慮對參數進行分類討論.

①當a≤0時，f′（x）=3ax2-3＜0對于?x∈R恒成立，則f（x）的單調遞減區間為（-∞，+∞），無單調遞增區間.

②當a＞0時，

令f′（x）=3ax2-3=0，得或

易得，f（x）的單調遞增區間為和單調遞減區間為

師：生1同學運用分類討論思想給出了函數的單調區間.你能由單調區間畫出該函數的示意圖嗎？哪位同學來展示一下？

生2：

4.探究提升

師：生2同學根據函數的單調性，分三種情況畫出了該函數的示意圖，直觀體現了函數的圖像特征.如果將該三次函數一般化，同學們能參照上述的分析過程，探究一般三次函數的圖像特征嗎？我們約定：三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其導函數f′（x）=3ax2+2bx+c，方程f′（x）=0的判別式Δ=4（b2-3ac）.

師生合作探究，歸納出如下結論：

a＞0 Δ＞0 Δ=0 Δ＜0導函數圖像y原圖函像數xx單調 遞增區間（-∞，x1），（x2， 遞增區間 遞增區間區間+∞），遞減區間（x1，x2） （-∞，+∞） （-∞，+∞）

（a＜0時，仿上）

5.縱引橫聯

問題1：已知函數f（x）=ax3-3x+1在區間（-1，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍.

生3：由生2所作示意圖可知，（1）當a≤0時，顯然符合題意；（2）當a＞0時，區間（-1，1）必為的子區間，

即0＜a≤1.

綜上，a∈（-∞，1］.

生4：分兩步：首先轉化為恒成立問題；其次是分離參數、分類討論.

由題可知，f′（x）=3ax2-3≤0對?x∈（-1，1）恒成立.則

（1）當x=0時，a∈R；

（2）當x≠0時對?x∈（-1，0）∪（0，1）恒成立，所以a≤1.

綜上，a∈（-∞，1］.

設計意圖：（1）引導學生感悟并理解“函數在某區間上遞減（增）”即“該區間是函數單調遞減（增）區間的子區間”；（2）引導學生從導函數的符號與單調性的關系出發，探究“函數在某區間上遞減（增）”必有“在此區間上f′（x）≤0（f′（x）≥0）恒成立”；（3）熟練掌握用分離參數法來研究恒成立問題；（4）鞏固數形結合、分類討論、轉化化歸等數學思想方法的應用.

問題2：已知函數f（x）=ax3-3x+1的單調遞減區間為（-1，1），求實數a的值.

生5：函數f（x）的單調遞減區間就是f′（x）＜0的解集，所以

即（-1，1），

設計意圖：問題2意在與問題1進行比較，讓學生辨別“函數的單調遞減（增）區間”與“函數在某區間上單調遞減（增）”的關系.

問題3：已知函數f（x）=ax3-3x+1在區間（1，2）上不單調，求實數a的取值范圍.

分析：何為“不單調”？對于連續函數（常函數除外）而言，函數在某區間內不單調，意思為函數在該區間上既有遞增區間又有遞減區間，可進一步理解為，函數在該區間內有極值點.因此，即

設計意圖：引導學生透徹理解“函數在某區間內不單調”的含義，深化學生對函數單調性的認識.

問題4：已知函數f（x）=ax3-3x+1在區間［1，2］上存在單調增區間，求實數a的取值范圍.

分析：首先，當a≤0時，f（x）在區間［1，2］單調遞減，不符合題意，因此必有a＞0.

生6：由于函數f（x）在其遞增區間上滿足f′（x）＞0，因此函數f（x）在區間［1，2］上存在單調增區間，即f′（x）＞0在［1，2］上有解，換句話說，f′（x）＞0的解集與［1，2］有公共區間.所以，，即

設計意圖：通過對關鍵詞“存在”的理解，使學生掌握“函數在某個區間上存在單調增（減）區間”即這個區間與函數的單調遞增（減）區間有公共區間.

變式1：已知函數f（x）=ax3+x2-x+c在（2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍.

變式2：已知函數f（x）=ax3+x2-x+c在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍.

通過對以上四個問題及兩個變式的研究，指導學生對導函數、單調性、極（最）值等知識進行梳理，既理解了概念，又掌握了方法，也滲透了數學思想，學生對考點的把握達到系統化、結構化、深刻化.

6.課后思考

1.（2014遼寧高考11題）當x∈［-2，1］時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則a的取值范圍為______.

2.（2012浙江高考17題）關于x的不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0對任意的x＞0恒成立，則實數a=______.

設計意圖：設計思考題，意在讓學生進一步感知高考試題，深化鞏固用最值法和分離參數法來探究恒成立問題中的參數范圍（或值），尤其是思考2在最值法、分離參數法等常規方法難以奏效的情況下，如何尋找解題突破口？可否借助三次函數的圖像特征尋求解題之道？由于求的是a的值而不是取值范圍，那么賦值法是否可行？這樣的設計有利于提高學生分析問題、解決問題的能力，有利于培養學生的數學素養.

二、反思感悟

荷蘭著名數學家弗賴登塔爾指出：反思是數學思維活動的核心和動力.從課堂實施的效果來看，本節課的教學是比較成功的，教學過程體現了教師的主導作用，突出了學生的主體地位，使學生在活躍愉快的生生合作及師生合作中完成了教學目標.課堂教學之后，筆者對本節課的教學進行了全面的回顧與小結，對此也有了更深入的思考，并發現在教學實踐中存在的一些缺憾.

1.明確主題，拓展思維

本節課的課題是“導數的應用——三次函數”，主旨是“基于‘解決問題’的微專題復習”，教學過程始終圍繞主題展開，精心設計問題串，為學生營造了廣闊的思維空間，使學生的思維有了一定的深度和廣度，較深層次地參與到教學過程之中.無論是問題的設置與環節的掌控，還是活動的展開，都循序漸進、過渡自然、水到渠成.

2.設計合理，教法恰當

本節課以高考題為載體，核心是用導數研究含參三次函數的單調性，并以此為抓手探究恒成立問題的解法，其中導數與單調性的關系在知識形成的過程中起著關鍵作用.筆者在教學中首先通過課前熱身，幫助學生復習導數與單調性的關系，又將2008年江蘇高考14題改編設計出母題，并由此展開含參三次函數單調性的探究，為最終解決該高考題搭建平臺，在教學過程中對導數與單調性的關系作了細致地分析與探究，使學生可以通過對這一關系的理解，更好地把握“最值法”和“分離參數法”.

3.突出重點，深度探究

整節課在“問題”的驅動下，學生通過自主探究、合作探究等方式掌握知識、訓練思維、培養能力，從而有效地突出了本節課的重點與難點.課堂上筆者設計了很多活動，從中可以看出知識是學生在自主探究中獲得的，問題是學生在自我辨析中解決的，過程與方法目標的達成度較好.

4.流程平實，注重層次

具有以下特點：①導——引導學生對問題進行深入思考.如對“函數在區間（1，2）上不單調”和“函數在區間［1，2］上存在單調增區間”兩個問題的探究，引導學生借助三次函數的圖像，探尋“不單調”與“區間內存在極值點”之間的關系，探尋“區間［1，2］”與“函數的遞增區間”之間的關系，將學生的思維引向深處.②啟——啟發學生用多種方法解決同一問題，拓展學生思維.如在研究2008年江蘇高考14題的過程中，啟發學生從不同視角出發，用“最值法”“分離參數法”“特殊值法”等方法來求解，體會一題多解，培養學生的發散性思維.③提——提高思維層次，提升思維品質.如在研究2008年江蘇高考14題時，在學生用第三種方法“特殊值探路，避免討論”后，繼續追問，能否更進一步，再賦值，從而將特殊值法發揮到極致.④變——通過“一題多變”培養學生思維的深刻性.本節課從母題出發，立足于導數與單調性的關系，縱引橫聯，一題多變，設計出一系列問題，加深學生對知識的理解，有利于學生思維水平的提升.

5.白壁微瑕，不足尚存

問題3與問題4是學生在本節課中需要突破的兩個難點，在引導學生進行辨析時，應留出充足的時間讓學生進行獨立思考和討論分析，并通過師生互動的方式深入剖析，使學生充分領會“不單調”及“在某區間上遞增”的本質含義，以達成教學目標，但在教學的實施過程中，此處的處理有些倉促，剖析、挖掘得不夠深入.H