國內三種《復變函數》教材的比較與分析

湯 獲，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

《復變函數》是高等師范院校數學專業的一門重要基礎課程，也是理工科類院校力學、物理學、天文學等專業的必修課程，其教材選用的好壞直接關系到該課程的建設質量和水平，也影響到學生的學習效果.目前，國內《復變函數》教材版本較多，有20余種，但經典教材并不多見.例如，鐘玉泉[1]主編的《復變函數論》（第四版，2013年8月出版）（以下簡稱教材1），曾獲高等學校優秀教材二等獎；余家榮[2]主編的《復變函數》（第三版，2000年3月出版）（以下簡稱教材2），是面向21世紀課程教材和普通高等教育“九五”國家級重點教材；路見可、鐘壽國、劉士強[3]主編的《復變函數》（修訂版，1999年7月出版）（以下簡稱教材3），是理工科專業熱門教材.雖然這些教材在內容編排上幾乎一致，但其在適用對象、例題和練習題的設置以及專業名詞的應用上有本質的區別.本文以上述三種《復變函數》教材為例，從教材適用對象、內容編排、例題、練習題以及專業名詞譯名等幾個方面進行分析和比較（見表1-7），指出其區別和聯系，為不同專業的師生合理選用該教材提供一些理論依據.

1 教材適用對象的比較

由表1可以看出，教材1主要適用于高等師范院校數學專業學生，而教材2和教材3主要適用于非數學專業理工科學生.

表1 三種教材適用對象的比較

2 教材內容的比較

由表2可以看出，三種教材在內容編排上幾乎一致，都是從復數和復變函數的基本理論出發，內容由淺入深，環環相扣，做到理論聯系實際，符合學生的學習習慣，但它們之間也存在區別：章節安排上，教材1和教材3都有九章內容，而教材2只有八章內容.內容編排上，教材1不但介紹了留數的理論知識，還給出了留數理論的某些應用；教材2和教材3都是將解析函數的冪級數展開和洛朗展開統一歸為一章，相對于教材1來說介紹過于籠統.另外，教材3還將解析函數在平面場中的應用單獨作為一章，這充分體現了該教材非常注重復變函數理論的應用.

表2 三種教材內容的比較

3 例題和練習題的比較

3.1 例題、練習題和思考題的數量

表3 三種教材中例題和練習題總量統計表

從表3可知，教材1中例題的數量最多；教材3中習題數量最多，教材1次之.教材1和教材3中思考題數量差別不大，但設置順序有所不同，教材1中思考題是直接設置在某個定義、定理或推論證明之后，而教材3是單獨設置在每章練習題之前.

3.2 例題和練習題的數學認知水平

一般地，我們把學生對例題和練習題的數學認知水平劃分為四個層次[4].

水平1:計算—操作性記憶水平.根據教科書要求的步驟或方法進行簡單的計算.這里，我們將與例題算法相同或相似的練習題都歸為水平1.例如，教材[2，第7頁]中例題3：設z1及z2是兩個復數，求證教材[2，第 13 頁]中的習題 1（5）：設 z1及 z2是兩個復數，求證：

水平2:概念—概念性記憶水平.按照某些概念或定義進行簡單的識別活動.例如，教材[1，第6頁]中例題1.9：求復數的實部、虛部和模；教材[3，第 8 頁]中習題 1.1（2）：求 1+i和 -i的n次方根.對于這兩題，只要學生掌握了復數的實部、虛部、模以及方根的定義就能計算出來.

水平3:領會—說明性理解水平.對于較復雜的問題，我們在理解了概念和步驟的基礎上，選擇合適的解題方法，再靈活運用所學知識來進行簡單的推理.這里，我們把與例題相近或形式不同的練習題都歸為水平3.例如，教材[1，第131頁]中例題3.15：驗證u(x,y)=x3-3xy3是平面上的調和函數，并求以u(x,y)為實部的解析函數f(z)，使滿足f(0)=i；教材[2，第 85 頁]中習題 4（16）：設函數 f(z)在區域 D內解析，證明：如果對某一點z0∈D，有f(n)(z0)=0，n=1,2,……，那么，f(z)在D內為常數.

水平4:分析—探究性理解水平.對于比較復雜或綜合性強的問題，我們需要具備較高層次的數學認知水平和綜合分析能力來創造性地解決問題.這里，我們將與例題差別較大、需要綜合更多的數學知識和計算方法或沒有現成解決方法的習題都歸為水平 4.例如，教材[1，第 143 頁]中習題 3（12）：如果在 |z|＜1內的函數 f(z)解析，且試證

下面，我們根據上述四個數學認知水平，分別對三種教材中的例題和練習題進行分析和比較，并統計出它們在各水平上的數量和所占比例（見表4和表 5）.

表4 三種教材中例題的數學認知水平的比較

從表4可知，三種教材中例題都是水平3所占比例最大，水平1次之，水平2和水平4所占比例都較小.由此可知，三種教材中例題設置都是注重在理解分析方面，而對概念、定義類和需要綜合性的數學知識去解決的例題要求較低.

表5 三種教材中練習題的數學認知水平的比較

從表5可知，三種教材中練習題的數學認知水平都是以水平3為主，水平1次之，符合對所學知識鞏固理解的要求，同時，也要加強學生分析解決問題的能力.對水平2的習題只是考查學生對概念定義的理解程度，所占比例適宜.而對水平4的習題是要求學生具備扎實的綜合數學知識和較強的分析能力，因此，此水平的習題在三種教材中所占比例都較小.

4 其他部分的比較

表6 三種教材中譯名、索引、插圖數量統計表

從表6可知，教材1和教材2中外國人名譯名都是27個，但教材2中外國人名譯名是以對照表形式附在課本后面的，而教材1和教材3中外國人名譯名則是隨著名詞出現的，一目了然，便于學生直接記憶.另外，只有教材1和教材2分別附有專業名詞譯名和索引.教材1中插圖最多，有132個，比較符合師范類專業教材的特點，簡潔直觀，圖文并茂，便于學生理解和掌握.

表7 三種教材中部分名詞譯名的比較

從表7可以看出，教材1和教材2中專業名詞譯名基本一致，只是個別譯名稍微有點不同.而教材3中專業名詞譯名完全與教材1和教材2不一致.

5 小結

通過以上分析和比較發現，教材1理論性內容較多，應用性內容偏少，概念引入、定理推導過程詳細，插圖和譯注豐富，圖文并茂，適合高等學校數學專業學生或自學者使用；教材2和教材3理論性內容和應用性內容并重，對定理推導過程要求不高，應用性較強，非常適合非數學專業理工科學生或工程技術人員使用.