坐著[模型思想]的船到達[方程]的彼岸

沈青

方程是刻畫現實世界中具有等量關系的數學模型。東北師范大學史寧中教授曾指出方程思想的本質與意義：方程思想有著豐富的含義，其核心體現在模型思想與化歸思想方面。在教學過程中，教師要引導學生從數學的角度看問題，用數學語言去捕述自然語言，分析已知量和未知量之間的等量關系，構建等量模型去解決復雜的數學問題，既培養了學生的數學思維，義達到輕松學習的目的。何以坐著“模型思想”的船到達“方程”的彼岸呢？

一、用數學語言描述問題

從數學的角度分析問題，用數學語言去描述自然語言，將生活問題抽象成數學問題，這是我們學習數學的基本能力。數學語言是學習數學的工具，它主要分為文字語言、符號語言和圖表語言。準確而簡明地用數學語言去描述數學問題，往往能夠使復雜問題變得更直觀明了，便于我們思考。

如，人教版數學五年級上冊“實際問題與方程”中的例5：

小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00兩人分別從家騎自行車相向而行，兩人何時相遇？

師：讀完此題，你能用自己的話表達一下題目意思嗎？

生1：小林家和小云家相距4.5千米，小林每分鐘騎250米，小云每分鐘騎200米，早上9：00他們兩人分別從家騎自行車相向而行，問他們何時相遇？

師：你說得真詳細，你是怎么理解相向而行的？（師邊說邊指題目中的情境圖）

生2：相互面對面出發。

師：你能用兩只手比劃一下面對面出發的運動情況嗎？

（生用兩只手比畫著，結果兩只手碰到一起了）

師：在你們用手比畫的過程中，你有什么想說的嗎？

生3：兩只手分別代表小云和小林，他們面對面一起出發，最后相遇了。

師：你的聯想能力真好！同學們同意嗎？

生：（齊說）同意。

師：既然小云和小林是一起出發，相遇時停下，你覺得他們行駛的時間一樣嗎？ 生：（齊說）一樣。

師：我想找兩位同學來幫我們驗證一下。（兩位同學分別扮演小林和小云，在臺上的兩端面對面同時出發，最后相遇停下）

師小結：原來兩人相向而行，同時出發，最后相遇停下，他們行駛所用的時間是一樣的。

師：通過演示，你能不能用一種你喜歡并且便于理解的方式來描述一下這個運動情況呢？

（師展示并對比學生的作品，讓同學相互說作品的優缺點，引導學生將已知信息和問題都標在線段圖上）

通過用手比畫和學生演示來解釋“相向而行”和“相遇”等關鍵詞，學生對數學語言中的“相向而行”和“相遇”有了很好的理解和體驗。再引導學生用畫線段圖的方式來描述數學問題，把已知信息和問題都標在線段圖上，使問題變得簡單明了。理解題目的意思并能夠用簡明的數學語言表述問題，可以鍛煉學生用數學思維思考問題的能力。

二、分析已知量和未知量之間的數量關系

建構主義學習理論認為學習的過程是學習者主動建構知識的過程，學習者以原有的經驗為基礎，通過與外界的相互作用來建構新的理解。在引導學生分析已知量和未知量的數量關系時，要從條件和問題的整體出發，把已知量和未知量找出來，再來分析它們之間的相等關系。學生找出了已知量是小林的速度、小云的速度和他們兩家的距離，未知量是小云和小林的行駛時間。讓學生結合線段圖說一說這些數量之間有什么關系，學生會想到“速度×時間=路程”。他們很容易得出小林的速度×小林行駛的時間=小林的路程，小云的速度×小云行駛的時間=小云的路程。你能在線段圖上標出哪段是小林走的路程，哪段是小云走的路程嗎？小林和小云行駛的總路程與他們兩家相距的距離義有怎樣的關系呢？

學生從自己標的線段圖中很容易看出小林走的路程+小云走的路程=4.5km。“溫故而知新”，從原有的知識經驗出發，不斷引發新問題，在新問題與舊知識之間產生聯系，解決新問題就是自主獲得新知識的過程。

三、構建等量模型——列方程

通過分析數學問題中的已知量和未知量之間的等量關系，從而構建等式去求解未知量，這是列方程解決問題的實質。我們用畫線段圖的方式分析出小林走的路程+小云走的路程=總路程（兩家相距的距離），根據這個等量關系來列方程解決問題。我們不妨設小林和小云的行駛時間為x分鐘，則：

小林的速度×小林行駛的時間+小云的速度×小云行駛的時間=4.5km

O.25x+0.2x=4.5

列方程的關鍵是建立數量之間的等量模型，用數學符號建立方程，使已知數和未知數都參與到等式的計算中再根據等式的性質，利用化歸思想求解出未知數。

四、反思與總結

美國教育心理學家布魯納指出：掌握基本的數學思想和方法，能使數學更易于理解和更利于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。類似相遇問題的還有：打字問題、挖隧道問題和做零件問題等。雖然它們情境不一樣，但都是運用“一部分+另一部分=總的”這一模型思想來解決問題，這就是領會模型思想后遷移的結果。在小學數學教學中，我認為最重要的是數學思想方法的領悟，以及如何用數學思維去思考數學問題，這比知識本身更加重要。讓學生學會用數學語言去捕述數學問題，分析已知量和未知量之間的等量關系，用數學符號建立方程，才能算是真正意義上的列方程解決問題的學習。

在我們的小學數學教學過程中，過于強調知識本身，或多或少地忽略了其背后所體現的數學思想方法，這是導致學生從低年級學段很難順利過渡到高年級學段的重要原因。教師在教學中過多地強調知識，會讓學生對知識的理解停留在表面，對數學的學習無法達到一個新的高度。學生只有真正明白數學學習的本質及其意義，體會數學思想方法，才能更好地去吮吸知識、利用知識來解決生活問題和數學問題，發現數學的美。